Sejam os vetores u=(3, m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores dados sejam igual a 20 u.v.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que o volume do paralelepípedo gerado por vec u=(3,m,-2), vec v=(1,-1,0) e vec w=(2,-1,2) seja 20 unidades de volume. Lembrando que o volume é dado pelo valor absoluto do produto misto
V = l|vec ucdot(vec vtimesvec w)r|

Passo 2

Vamos primeiro calcular o produto vetorial vec vtimesvec w. Usando a definição por determinante,
vec vtimesvec w = i & j & k 1 & -1 & 0 2 & -1 & 2 = il((-1)cdot2 - 0cdot(-1)r) - jl(1cdot2 - 0cdot2r) + kl(1cdot(-1) - (-1)cdot2r)
Isso dá
vec vtimesvec w = (-2,,-2,,1)

Passo 3

Em seguida, fazemos o produto escalar vec ucdot(vec vtimesvec w). Como vec u=(3,m,-2),
vec ucdot(vec vtimesvec w) = (3,m,-2)cdot(-2,-2,1) = 3cdot(-2) + mcdot(-2) + (-2)cdot1 = -6 -2m -2 = -8 -2m

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse produto misto, ou seja,
l|-8 -2mr| = 20
Podemos escrever -8-2m = -2(m+4), então
2,l|m+4r| = 20 Longrightarrow l|m+4r| = 10

Passo 5

Da igualdade l|m+4r| = 10 tiramos as duas possibilidades:
m+4 = 10 Longrightarrow m = 6,
m+4 = -10 Longrightarrow m = -14

Resposta

Os valores de m que garantem volume 20 são m=6 ou m=-14.

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