Determine quais das seguintes afirmativas são verdadeiras e quais são falsas, justificando a sua resposta.
Cada ponto do plano
é a projeção de uma infinidade de pontos do espaço.
Cada ponto do plano
Passo 1
O enunciado pede para analisar a afirmação sobre projeção ortogonal no plano
:
“Cada ponto do plano é a projeção de uma infinidade de pontos do espaço.”
O conteúdo aqui é projeção ortogonal em geometria analítica, e vamos usar a definição dessa projeção e analisar sua pré-imagem.
“Cada ponto do plano
O conteúdo aqui é projeção ortogonal em geometria analítica, e vamos usar a definição dessa projeção e analisar sua pré-imagem.
Passo 2
Definimos a projeção ortogonal no plano
como a aplicação
Ou seja, ao projetar um ponto
no plano
, “esquecemos” a coordenada
e fixamos
.
Passo 3
Seja um ponto genérico
do plano
, com coordenadas
.
Queremos encontrar todos os pontos tais que
Queremos encontrar todos os pontos
Isso impõe
e
, mas não impõe nenhuma restrição sobre
. Logo, a pré-imagem de
é
que é um conjunto infinito (uma reta paralela ao eixo
).
Passo 4
Visto que para cada ponto
no plano
existe toda a reta
projetando-se naquele ponto, concluímos que há infinitos pontos do espaço mapeando-se naquele mesmo ponto do plano.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.