Determine quais das seguintes afirmativas são verdadeiras e quais são falsas, justificando a sua resposta.
Cada ponto do plano PiXZ é a projeção de uma infinidade de pontos do espaço.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a afirmação sobre projeção ortogonal no plano PiXZ :
“Cada ponto do plano PiXZ é a projeção de uma infinidade de pontos do espaço.”
O conteúdo aqui é projeção ortogonal em geometria analítica, e vamos usar a definição dessa projeção e analisar sua pré-imagem.

Passo 2

Definimos a projeção ortogonal no plano PiXZ como a aplicação
Pcolon R^3 to PiXZ, P(x,y,z) = (x,0,z)
Ou seja, ao projetar um ponto (x,y,z) no plano XZ, “esquecemos” a coordenada y e fixamos y=0.

Passo 3

Seja um ponto genérico Q do plano PiXZ , com coordenadas Q=(x0,0,z0).
Queremos encontrar todos os pontos (x,y,z)inR^3 tais que
P(x,y,z) = (x0,0,z0)
Isso impõe x = x0 e z = z0, mas não impõe nenhuma restrição sobre y. Logo, a pré-imagem de Q é
P^-1(Q) = (x0,y,z0)mid yinR,
que é um conjunto infinito (uma reta paralela ao eixo y).

Passo 4

Visto que para cada ponto (x0,0,z0) no plano XZ existe toda a reta (x0,y,z0)mid yinR projetando-se naquele ponto, concluímos que há infinitos pontos do espaço mapeando-se naquele mesmo ponto do plano.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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