Sejam
vetores de um espaço vetorial V e
uma transformação linear tal que
Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá as imagens pelos vetores
sob a transformação linear
:
O que o problema pede é encontrar o valor de
Passo 2
Conceito essencial (explicado de forma simples): uma transformação
ser linear significa que, para quaisquer escalares
e quaisquer vetores
em
,
Aqui
e
são números reais (escalares) e
são vetores. Essa propriedade permite “passar” a combinação linear para dentro de
, transformando o problema de calcular
da combinação em somar e multiplicar os vetores já conhecidos
.
Passo 3
Aplicando a linearidade de
ao caso concreto, com
,
,
e vetores
, obtemos:
Agora substituímos os vetores em
fornecidos no enunciado.
Passo 4
Calcule cada multiplicação escalar separadamente (cada passo mostra a multiplicação componente a componente):
Passo 5
Agora somamos os três vetores componente a componente. Fazendo as somas em cada coordenada:
- Primeira coordenada:
. - Segunda coordenada:
. - Terceira coordenada:
.
Portanto a soma resulta no vetor