Sejam v_{1}, v_{2}, v_{3} vetores de um espaço vetorial V e T: V \rightarrow R^{3} uma transformação linear tal que
T\left(v_{1}\right)=(1,-1,2) \quad T\left(v_{2}\right)=(0,3,2) \text { e } T\left(v_{3}\right)=(-3,1,2)
Encontre T\left(2 v_{1}-4 v_{2}+5 v_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá as imagens pelos vetores v_{1},v_{2},v_{3} sob a transformação linear T:V\to\mathbb{R}^{3}:
T(v_{1})=(1,-1,2),\qquad T(v_{2})=(0,3,2),\qquad T(v_{3})=(-3,1,2).
O que o problema pede é encontrar o valor de
T\bigl(2v_{1}-4v_{2}+5v_{3}\bigr).

Passo 2

Conceito essencial (explicado de forma simples): uma transformação T ser linear significa que, para quaisquer escalares a,b e quaisquer vetores u,w em V,
T(au+bw)=a\,T(u)+b\,T(w).
Aqui a e b são números reais (escalares) e u,w são vetores. Essa propriedade permite “passar” a combinação linear para dentro de T, transformando o problema de calcular T da combinação em somar e multiplicar os vetores já conhecidos T(v_i).

Passo 3

Aplicando a linearidade de T ao caso concreto, com a=2, b=-4, c=5 e vetores v_{1},v_{2},v_{3}, obtemos:
T\bigl(2v_{1}-4v_{2}+5v_{3}\bigr)=2\,T(v_{1})-4\,T(v_{2})+5\,T(v_{3}).
Agora substituímos os vetores em \mathbb{R}^{3} fornecidos no enunciado.

Passo 4

Calcule cada multiplicação escalar separadamente (cada passo mostra a multiplicação componente a componente):
2\,T(v_{1})=2\cdot(1,-1,2)=(2,-2,4),
-4\,T(v_{2})=-4\cdot(0,3,2)=(0,-12,-8),
5\,T(v_{3})=5\cdot(-3,1,2)=(-15,5,10).

Passo 5

Agora somamos os três vetores componente a componente. Fazendo as somas em cada coordenada:
  • Primeira coordenada: 2+0+(-15)=2-15=-13.
  • Segunda coordenada: -2+(-12)+5=-2-12+5=-9.
  • Terceira coordenada: 4+(-8)+10=4-8+10=6.
Portanto a soma resulta no vetor
( -13,\,-9,\,6 ).

Resposta

T\bigl(2v_{1}-4v_{2}+5v_{3}\bigr)=(-13,-9,6)

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