Considere a base \beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} do R^{3} onde v_{1}=(1,1,1), v_{2}=(1,1,0), v_{3}=(1,0,0) e seja T: R^{3} \rightarrow R^{3} \quad o operador linear tal que
T\left(v_{1}\right)=(2,-1,4) \quad T\left(v_{2}\right)=(3,0,1) \text { e } T\left(v_{3}\right)=(-1,5,1) .
Encontre uma fórmula para \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) e use esta fórmula para obter \mathrm{T}(2,4,-1).

Passo 1

O enunciado dá os vetores da base \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} e as imagens por T. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados:
v_{1}=(1,1,1),\qquad v_{2}=(1,1,0),\qquad v_{3}=(1,0,0),
T(v_{1})=(2,-1,4),\qquad T(v_{2})=(3,0,1),\qquad T(v_{3})=(-1,5,1).
O enunciado pede:
  • Encontrar uma fórmula para T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
  • Usar essa fórmula para calcular T(2,4,-1).

Passo 2

Primeiro, escrever um vetor arbitrário (x,y,z)\) como combinação linear dos vetores da base \(\beta\). Ou seja, procurar escalares \(a,b,c\) tais que \[a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(x,y,z).
Escrevendo componente a componente:
a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)=(x,y,z).
Isto gera o sistema
\begin{cases} x = a + b + c,\\[4pt] y = a + b,\\[4pt] z = a. \end{cases}
A partir da terceira equação obtemos imediatamente a=z\]. Substituindo na segunda: \[y = z + b \quad\Rightarrow\quad b = y - z.\] Substituindo \(a e b na primeira:
x = z + (y - z) + c = y + c \quad\Rightarrow\quad c = x - y.
Portanto os coeficientes da combinação são
a = z,\qquad b = y - z,\qquad c = x - y.]

Passo 3

Agora usamos linearidade de T: para v=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3} vale
T(v)=a\,T(v_{1})+b\,T(v_{2})+c\,T(v_{3}).
Substituindo a,b,c e as imagens dadas:
T(x,y,z)=z\,(2,-1,4)+(y-z)\,(3,0,1)+(x-y)\,(-1,5,1).
Vamos calcular componente a componente, desenvolvendo cuidadosamente.
Primeira componente:
\begin{aligned} T_{1}(x,y,z) &= z\cdot 2 + (y-z)\cdot 3 + (x-y)\cdot(-1)\\[4pt] &= 2z + 3y -3z -x + y\\[4pt] &= -x +4y - z. \end{aligned}
Segunda componente:
\begin{aligned} T_{2}(x,y,z) &= z\cdot(-1) + (y-z)\cdot 0 + (x-y)\cdot 5\\[4pt] &= -z + 0 +5x -5y\\[4pt] &= 5x -5y - z. \end{aligned}
Terceira componente:
\begin{aligned} T_{3}(x,y,z) &= z\cdot 4 + (y-z)\cdot 1 + (x-y)\cdot 1\\[4pt] &= 4z + y - z + x - y\\[4pt] &= x + 3z. \end{aligned}]

Passo 4

Reunindo as componentes, obtemos a fórmula final para T:
T(x,y,z)=\bigl(-x+4y-z,\;5x-5y-z,\;x+3z\bigr).
Como verificação rápida (útil para a prova): aplicando esta fórmula aos vetores da base deve retornar as imagens dadas. Por exemplo, para v_{1}=(1,1,1):
T(1,1,1)=(-1+4-1,\;5-5-1,\;1+3)=(2,-1,4),
que coincide com T(v_{1}). Os outros vetores da base conferem também.

Passo 5

Agora calculo T(2,4,-1) usando a fórmula encontrada. Substituindo x=2, y=4, z=-1:
\begin{aligned} T_{1}(2,4,-1) &= -2 + 4\cdot 4 - (-1) = -2 +16 +1 = 15,\\[4pt] T_{2}(2,4,-1) &= 5\cdot 2 -5\cdot 4 - (-1) = 10 -20 +1 = -9,\\[4pt] T_{3}(2,4,-1) &= 2 + 3\cdot(-1) = 2 -3 = -1. \end{aligned}
Logo
T(2,4,-1)=(15,-9,-1).]

Resposta

T(x,y,z)=\bigl(-x+4y-z,\;5x-5y-z,\;x+3z\bigr)
T(2,4,-1)=(15,-9,-1)

Exercícios relacionados