Determine se a função dada nos casos abaixo é uma transformação linear. Justifique sua resposta. T: R^{3} \rightarrow R^{2}, dada pela fórmula T(x, y, z)=(2 x-y+z, y-4 z)
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por fórmula: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=(2x-y+z,\;y-4z).
A pergunta é: determinar se T é uma transformação linear e justificar.
Passo 2
Lembrete (definição prática): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Vou verificar explicitamente essas duas propriedades para T. Isso é o jeito direto e seguro na prova.
Mas os pares entre parênteses são exatamente T(u) e T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).
Passo 4
Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então cu=(cx,cy,cz). Aplicando T:
T(cu)=T(cx,cy,cz)=(2cx-cy+cz,\;cy-4cz).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=c(2x-y+z,\;y-4z)=c\,T(u).
Passo 5
As igualdades obtidas nos Passos 3 e 4 valem para vetores arbitrários u,v e escalar arbitrário c. Portanto T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, isto é, satisfaz as duas propriedades da definição de transformação linear.
Passo 6
Observação prática (dica de prova): outra forma rápida de ver linearidade é notar que cada componente de T(x,y,z) é combinação linear das coordenadas x,y,z (coeficientes constantes) e não aparece nenhum termo independente (constante) nem termos não lineares (como xy, x^2, \sin x etc.). Isso já indica linearidade e permite escrever T como multiplicação por matriz: