Determine se a função dada nos casos abaixo é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: R^{3} \rightarrow R^{2}, dada pela fórmula T(x, y, z)=(2 x-y+z, y-4 z)

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por fórmula: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=(2x-y+z,\;y-4z).
A pergunta é: determinar se T é uma transformação linear e justificar.

Passo 2

Lembrete (definição prática): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Vou verificar explicitamente essas duas propriedades para T. Isso é o jeito direto e seguro na prova.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T ao somatório:
T(u+v)=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;(y_1+y_2)-4(z_1+z_2)\bigr).
Agora distribuo e agrupo termos:
T(u+v)=\bigl((2x_1-y_1+z_1)+(2x_2-y_2+z_2),\;(y_1-4z_1)+(y_2-4z_2)\bigr).
Mas os pares entre parênteses são exatamente T(u) e T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então cu=(cx,cy,cz). Aplicando T:
T(cu)=T(cx,cy,cz)=(2cx-cy+cz,\;cy-4cz).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=c(2x-y+z,\;y-4z)=c\,T(u).

Passo 5

As igualdades obtidas nos Passos 3 e 4 valem para vetores arbitrários u,v e escalar arbitrário c. Portanto T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, isto é, satisfaz as duas propriedades da definição de transformação linear.

Passo 6

Observação prática (dica de prova): outra forma rápida de ver linearidade é notar que cada componente de T(x,y,z) é combinação linear das coordenadas x,y,z (coeficientes constantes) e não aparece nenhum termo independente (constante) nem termos não lineares (como xy, x^2, \sin x etc.). Isso já indica linearidade e permite escrever T como multiplicação por matriz:
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.]

Passo 7

Exemplo numérico rápido para checar: tome u=(1,0,2). Pela fórmula
T(1,0,2)=(2\cdot1-0+2,\;0-4\cdot2)=(4,\,-8).
Pela multiplicação matricial com a matriz do passo anterior obtém-se o mesmo vetor (4,-8), confirmando a consistência.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear. A matriz associada é \displaystyle \begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4\end{pmatrix}.]

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