Se \beta=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} é uma base de um espaço vetorial V , quantos operadores distintos podem ser criados que levam cada vetor em \beta num vetor em \beta ? explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado dá que \beta=\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} é uma base de um espaço vetorial V. A pergunta é: quantos operadores lineares distintos T:V\to V existem com a propriedade de que, para todo vetor da base, T(v_i) é um vetor de \beta. Em outras palavras: quantos operadores lineares que enviam cada v_i em algum elemento de \beta?
Informações relevantes dadas:
\beta tem exatamente n vetores (ou seja, |\beta|=n).
Cada T deve satisfazer T(v_i)\in\beta para todo i=1,\dots,n.
Um operador linear é determinado pelas imagens dos vetores de uma base (isso será usado).
Passo 2
Conceito crucial (explicado devagar): qualquer operador linear T:V\to V é totalmente determinado pelos valores T(v_1),T(v_2),\dots,T(v_n) quando \{v_i\} é uma base. Por quê? Porque todo vetor x\in V pode ser escrito de maneira única como combinação linear
x=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n,
onde os escalares \alpha_i são únicos (isso é exatamente a propriedade de base). Se T for linear, então
Ou seja: sabendo T(v_i) para todos os i, sabemos T(x) para qualquer x. Portanto, especificar as imagens dos vetores da base é suficiente para definir (e único) um operador linear.
Passo 3
Como o enunciado exige que cada T(v_i) seja um elemento de \beta, para cada índice i há exatamente n opções possíveis para T(v_i) (pois \beta tem n elementos). Essas escolhas são independentes entre si: a escolha de T(v_1) não restringe a escolha de T(v_2) (pode repetir-se imagem).
Logo, o número total de maneiras de escolher as imagens de todos os n vetores da base é dado por multiplicar o número de opções de cada escolha:
Preciso verificar que escolhas diferentes das imagens da base realmente geram operadores distintos (para não contar duplicados). Se duas escolhas diferem em pelo menos um i, digamos uma tem T(v_k)=w e outra tem S(v_k)=w' com w\neq w', então T e S agem de forma diferente sobre o vetor v_k, logo são operadores distintos. Como um operador linear é completamente determinado pelas imagens da base, não há duas escolhas distintas que produzam o mesmo operador. Portanto a contagem n^{n} não sobreconta nada.
Passo 5
Exemplos concretos para intuir melhor:
Se n=1, então \beta=\{v_1\} e só há 1^{1}=1 operador possível: o que manda v_1 em v_1.
Se n=2, então há 2^{2}=4 operadores possíveis (cada v_i pode ir para v_1 ou v_2; combinações: (v_1\mapsto v_1,v_2\mapsto v_1),\ldots).
Se n=3, há 3^{3}=27 operadores possíveis.
Observação útil (opcional): entre esses n^{n} operadores, os que são bijetores nas imagens da base (isto é, enviam a base para a mesma base por permutação) correspondem exatamente às permutações de \beta e são n! operadores invertíveis (matematicamente: as matrizes de permutação). Mas a pergunta original não exigia invertibilidade, por isso contamos também as imagens repetidas.