Sejam os vetores A=2 imath+3 jmath+k e B=-4 imath+2 jmath-k.
Determine:
(a) A-B
(b) Ax
(c) A cdot B
(d) A cdot imath
(e) o ângulo entre A e B.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores A=2imath+3jmath+k e B=-4imath+2jmath-k e pede:
(a) A-B
(b) Ax
(c) AcdotB
(d) Acdotimath
(e) o ângulo entre A e B.
Vamos usar operações com vetores: subtração componente a componente, definição de componente, produto escalar, magnitude de vetores e fórmula do ângulo via produto escalar.

Passo 2

Para calcular A-B subtraímos as componentes correspondentes:
A-B=(2-(-4))imath+(3-2)jmath+(1-(-1))k=6imath+1jmath+2k

Passo 3

O componente x de A é simplesmente
Ax=2
pois é o coeficiente de imath em A.

Passo 4

Para calcular o produto escalar AcdotB multiplicamos cada par de componentes e somamos:
AcdotB=(2)(-4)+(3)(2)+(1)(-1)=-8+6-1=-3

Passo 5

O produto escalar de A com imath extrai a componente x de A, logo:
Acdotimath=Ax=2

Passo 6

Para achar o ângulo theta entre A e B usamos a relação
costheta=AcdotBlvertArvert,lvertBrvert
Calculamos primeiro as magnitudes:
lvertArvert=raiz2^2+3^2+1^2=raiz14, lvertBrvert=raiz(-4)^2+2^2+(-1)^2=raiz21
Substituindo em costheta:
costheta=-3raiz14,raiz21=-3raiz294
Portanto,
theta=arccosl(-3raiz294r)approx100,1^circ

Resposta

(a) 6imath+jmath+2k
(b) 2
(c) -3
(d) 2
(e) approx100,1^circ

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