Sejam os vetores \mathbf{a}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{b}=4 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}, calcule:
|2 a-3 b|

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede um único cálculo. Informações dadas:
  • \mathbf{a}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
  • \mathbf{b}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}.
    O que se pede: calcular o comprimento (módulo) do vetor 2\mathbf{a}-3\mathbf{b}, isto é \bigl|2\mathbf{a}-3\mathbf{b}\bigr|.

Passo 2

Explicar como multiplicar um vetor por um escalar. Se \mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k} e c é um número, então c\mathbf{v}=(c v_x)\mathbf{i}+(c v_y)\mathbf{j}+(c v_z)\mathbf{k}. Vamos aplicar isso a 2\mathbf{a}.
2\mathbf{a}=2\bigl(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}\bigr)=(2\cdot 3)\mathbf{i}+(2\cdot (-2))\mathbf{j}+(2\cdot 1)\mathbf{k}=6\mathbf{i}-4\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

Passo 3

Aplicar a mesma regra para 3\mathbf{b}. Note que \mathbf{b} não tem componente em \mathbf{k}, o que é o mesmo que componente zero nessa direção.
3\mathbf{b}=3\bigl(4\mathbf{i}+2\mathbf{j}+0\mathbf{k}\bigr)=(3\cdot 4)\mathbf{i}+(3\cdot 2)\mathbf{j}+(3\cdot 0)\mathbf{k}=12\mathbf{i}+6\mathbf{j}+0\mathbf{k}.

Passo 4

Agora subtrair os vetores componente a componente. Se \mathbf{u}=u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k} e \mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}, então \mathbf{u}-\mathbf{v}=(u_x-v_x)\mathbf{i}+(u_y-v_y)\mathbf{j}+(u_z-v_z)\mathbf{k}.
Aplicando a isso:
2\mathbf{a}-3\mathbf{b}=(6\mathbf{i}-4\mathbf{j}+2\mathbf{k})-(12\mathbf{i}+6\mathbf{j}+0\mathbf{k})
=(6-12)\mathbf{i}+(-4-6)\mathbf{j}+(2-0)\mathbf{k}=-6\mathbf{i}-10\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

Passo 5

Explicar a fórmula do módulo de um vetor em coordenadas cartesianas: se \mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}, então
\lVert \mathbf{v}\rVert =\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aqui \mathbf{v}=2\mathbf{a}-3\mathbf{b}=-6\mathbf{i}-10\mathbf{j}+2\mathbf{k}, então calculemos o quadrado do módulo e depois a raiz:
\lVert 2\mathbf{a}-3\mathbf{b}\rVert^{2}=(-6)^{2}+(-10)^{2}+2^{2}=36+100+4=140.
Portanto
\lVert 2\mathbf{a}-3\mathbf{b}\rVert=\sqrt{140}.

Passo 6

Simplificar a raiz quadrada quando possível. Fatorizando 140 obtemos 140=4\cdot 35, e \sqrt{4\cdot 35}=2\sqrt{35}. Logo o módulo fica mais limpo em forma radical simplificada:
\lVert 2\mathbf{a}-3\mathbf{b}\rVert=2\sqrt{35}.

Resposta

2\sqrt{35}

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