1. Sejam os vetores no plano
$$\vec{u}=(3,4), \vec{v}=(-2,1)Determine:
b) O vetor 2 \vec{u}-3 \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores do plano e pede um cálculo com eles. Informações dadas:
  • \vec{u}=(3,4).
  • \vec{v}=(-2,1).
O que é pedido:
  • Calcular o vetor 2\vec{u}-3\vec{v}.

Passo 2

Lembrando as definições básicas (vou explicar devagarinho):
  • Multiplicação de um vetor por escalar: se \vec{a}=(a_1,a_2) e k é um número, então
k\vec{a}=(k a_1,\; k a_2).
Aqui a_1 e a_2 são as componentes do vetor \vec{a} (primeira e segunda componente), e k multiplica cada componente.
  • Subtração de vetores: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\; a_2-b_2).
Ou seja, subtrai-se componente a componente. Essas duas regras são o suficiente para resolver a conta.

Passo 3

Calcular 2\vec{u} aplicando a regra do escalar componente a componente:
2\vec{u}=2(3,4)=(2\cdot 3,\;2\cdot 4)=(6,8).
Expliquei cada multiplicação: 2\cdot 3=6 e 2\cdot 4=8.

Passo 4

Calcular 3\vec{v} do mesmo jeito:
3\vec{v}=3(-2,1)=(3\cdot (-2),\;3\cdot 1)=(-6,3).
Aqui 3\cdot(-2)=-6 e 3\cdot 1=3.

Passo 5

Agora subtrair os vetores obtidos componente a componente:
2\vec{u}-3\vec{v}=(6,8)-(-6,3)=(6-(-6),\;8-3)=(12,5).
Repare que 6-(-6)=6+6=12 e 8-3=5.

Passo 6

(Verificação alternativa e dica rápida) Outra forma é calcular -3\vec{v}=(-3)(-2,1)=(6,-3) e somar 2\vec{u}+( -3\vec{v})=(6,8)+(6,-3)=(12,5) — mesmo resultado. Na prova, faça sempre componente a componente; é rápido e evita erros.

Resposta

(12,5)

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