1. Sejam os vetores no plano
$$\vec{u}=(3,4), \vec{v}=(-2,1)Determine:
d) Um vetor com mesma direção de \vec{v}, porém com sentido contrário e módulo 5 .

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores no plano:
\vec{u}=(3,4),\qquad \vec{v}=(-2,1).
O que nos pedem especificamente é: encontrar um vetor que tenha a mesma direção de \vec{v}, porém com sentido contrário (ou seja, antiparalelo a \vec{v}) e módulo igual a 5.

Passo 2

Para atacar o problema, vamos usar a ideia de vetor unitário e de escala por um escalar. Primeiro, lembrando a definição de módulo (norma) de um vetor no plano: para um vetor \vec{a}=(a_1,a_2),
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}.
Um vetor unitário na direção de \vec{a} é \dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} e tem módulo 1. Para obter um vetor com qualquer módulo desejado R na mesma direção de \vec{a}, multiplica-se o vetor unitário por R:
\vec{w}=R\cdot\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}.
Se queremos o sentido contrário, basta introduzir um sinal negativo (ou multiplicar por um escalar negativo).

Passo 3

Calculemos o módulo de \vec{v}=(-2,1) usando a fórmula do passo anterior:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

Passo 4

O vetor unitário com o mesmo sentido de \vec{v} é
\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}.
Como queremos o sentido contrário, tomamos o negativo desse vetor unitário:
-\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{(2,-1)}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Agora multiplicamos esse vetor unitário (no sentido contrário) pelo módulo desejado 5:
\vec{w}=5\cdot\frac{(2,-1)}{\sqrt{5}}=\frac{(10,-5)}{\sqrt{5}}.
Simplificando cada componente (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5} ou dividindo por 5):
\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5},\qquad \frac{-5}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5},
portanto
\vec{w}=(2\sqrt{5},-\sqrt{5}).

Passo 6

Verificação rápida do módulo para garantir que deu certo:
\|\vec{w}\|=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{20+5}=\sqrt{25}=5,
como exigido.

Resposta

(2\sqrt{5},-\sqrt{5})

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