- Seja A uma matriz
de posto tres. Suponhamos que
, sendo
uma matrız
nao nula. Qual é o posto de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou deixar tudo claro e organizado):
-
é uma matriz com posto . -
é uma matriz não nula. - Está dado que
. Vou entender como a matriz nula (matriz identicamente zero) de dimensões compatíveis, ou seja .
A pergunta implícita é: qual é o posto de?
Passo 2
Vamos lembrar o que significam os conceitos que vamos usar (explicação didática):
- O posto de uma matriz,
, é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (chamado imagem ou coluna-espaço de ). - O núcleo (ou kernel) de uma matriz
, denotado , é o conjunto de vetores tais que . A dimensão de é chamada nulidade. - Para uma matriz quadrada
de tamanho vale o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity):
Aqui cada termo tem significado claro:
é o número de colunas linearmente independentes de
;
é quantos graus de liberdade tem o vetor solução de
; e
é a dimensão do espaço de entrada (a quantidade de componentes dos vetores
).
Passo 3
Aplicando o teorema do posto-nulidade a
(que é
e tem posto
):
então
Interpretação: o núcleo de
é um subespaço de dimensão
; isto é, todos os vetores
tais que
são múltiplos de um mesmo vetor não-nulo.
Passo 4
Agora usemos a igualdade matricial
. Pense nas colunas de
: escrevendo
por colunas,
onde cada
é um vetor em
. Multiplicação
coluna a coluna dá
Como
, cada coluna satisfaz
. Logo cada coluna
pertence a
.
Passo 5
Como todas as colunas de
pertencem a
e
tem dimensão
, todas as colunas de
estão em um subespaço de dimensão
. Isso implica que o espaço gerado pelas colunas de
(isto é, a imagem/coluna-espaço de
) tem dimensão no máximo
:
Passo 6
Por outro lado, foi dado que
é não nula, isto é,
tem pelo menos uma coluna não nula. Portanto a dimensão do espaço gerado pelas colunas de
não pode ser
. Conclusão:
Passo 7
Juntando as desigualdades
e
, obtemos