1. Seja A uma matriz 4 \times 4 de posto tres. Suponhamos que A B=U, sendo B uma matrız 4 \times 3 nao nula. Qual é o posto de B ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou deixar tudo claro e organizado):
  • A é uma matriz 4\times4 com posto 3.
  • B é uma matriz 4\times3 não nula.
  • Está dado que A B = U. Vou entender U como a matriz nula (matriz identicamente zero) de dimensões compatíveis, ou seja A B = 0.
    A pergunta implícita é: qual é o posto de B?

Passo 2

Vamos lembrar o que significam os conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • O posto de uma matriz, \operatorname{rank}(M), é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (chamado imagem ou coluna-espaço de M).
  • O núcleo (ou kernel) de uma matriz A, denotado \ker(A), é o conjunto de vetores x tais que A x = 0. A dimensão de \ker(A) é chamada nulidade.
  • Para uma matriz quadrada A de tamanho n\times n vale o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity):
\operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A) = n.
Aqui cada termo tem significado claro: \operatorname{rank}(A) é o número de colunas linearmente independentes de A; \dim\ker(A) é quantos graus de liberdade tem o vetor solução de A x=0; e n é a dimensão do espaço de entrada (a quantidade de componentes dos vetores x).

Passo 3

Aplicando o teorema do posto-nulidade a A (que é 4\times4 e tem posto 3):
\operatorname{rank}(A)=3,\qquad n=4,
então
\dim\ker(A)=4-\operatorname{rank}(A)=4-3=1.
Interpretação: o núcleo de A é um subespaço de dimensão 1; isto é, todos os vetores x tais que A x=0 são múltiplos de um mesmo vetor não-nulo.

Passo 4

Agora usemos a igualdade matricial A B = 0. Pense nas colunas de B: escrevendo B por colunas,
B=[\,b_1\\ b_2\\ b_3\,],
onde cada b_j é um vetor em \mathbb{R}^4. Multiplicação A B coluna a coluna dá
A B = [\,A b_1\\ A b_2\\ A b_3\,].
Como A B = 0, cada coluna satisfaz A b_j = 0. Logo cada coluna b_j pertence a \ker(A).

Passo 5

Como todas as colunas de B pertencem a \ker(A) e \ker(A) tem dimensão 1, todas as colunas de B estão em um subespaço de dimensão 1. Isso implica que o espaço gerado pelas colunas de B (isto é, a imagem/coluna-espaço de B) tem dimensão no máximo 1:
\operatorname{rank}(B)\le \dim\ker(A)=1.

Passo 6

Por outro lado, foi dado que B é não nula, isto é, B tem pelo menos uma coluna não nula. Portanto a dimensão do espaço gerado pelas colunas de B não pode ser 0. Conclusão:
\operatorname{rank}(B)\ge 1.

Passo 7

Juntando as desigualdades \operatorname{rank}(B)\le 1 e \operatorname{rank}(B)\ge 1, obtemos
\operatorname{rank}(B)=1.

Resposta

1

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