1. Sejam os vetores no plano
$$\vec{u}=(3,4), \vec{v}=(-2,1)Determine:
c) Um vetor unitário na direção de \vec{u}.

Passo 1

O enunciado fornece o vetor no plano
\vec{u}=(3,4)
e pede: um vetor unitário na direção de \vec{u}.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes de \vec{u} são 3 e 4.
  • Queremos um vetor com mesma direção de \vec{u} e comprimento 1.

Passo 2

O que é um vetor unitário na direção de \vec{u}?
  • Um vetor unitário é um vetor com norma (comprimento) igual a 1.
  • Para obter um vetor unitário na direção de \vec{u} usa-se a fórmula
\hat{u}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|},
onde \|\vec{u}\| é a norma de \vec{u}.
Explicando a norma em 2D: se \vec{u}=(u_1,u_2) então
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}}.
Aqui u_1=3 e u_2=4.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Aplicar a fórmula do vetor unitário dividindo cada componente de \vec{u} por \|\vec{u}\|:
\hat{u}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Verificação rápida (pra ganhar confiança): calcular a norma de \hat{u}
\|\hat{u}\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9+16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1,
logo é realmente unitário.
Observação extra (útil na prova): o vetor -\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right) é o vetor unitário na direção oposta de \vec{u}, caso alguma questão peça a direção contrária.

Resposta

\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)

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