Sejam u, v e w vetores quaisquer. Mostre que a projeção de v+w e m u é igual à projeção de v e m u mais a projeção de w e m u
SUGESTÃO: Usar as propriedades e a interpretação geométrica do produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a projeção do vetor v + w sobre o vetor u é igual à soma das projeções de v sobre u e de w sobre u. Isso envolve entender o que é projeção de vetores e usar propriedades do produto interno (também conhecido como produto escalar).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de projeção de um vetor a sobre outro vetor b. A projeção de a em b é dada pela fórmula:
projb,a = ( a cdot bb cdot b ) b
Aqui, a cdot b representa o produto interno entre os vetores a e b.

Passo 3

Agora, vamos calcular a projeção de v + w sobre u usando a definição:
proju,(v + w) = ( (v + w) cdot uu cdot u ) u

Passo 4

Vamos focar no numerador da fração: (v + w) cdot u. Sabemos que o produto interno é distributivo, ou seja:
(v + w) cdot u = v cdot u + w cdot u

Passo 5

Substituindo isso de volta na expressão da projeção, temos:
proju,(v + w) = ( v cdot u + w cdot uu cdot u ) u

Passo 6

Podemos separar a fração em duas partes:
( v cdot uu cdot u ) u + ( w cdot uu cdot u ) u
Isso corresponde exatamente às projeções individuais de v e w sobre u.

Passo 7

Portanto, temos:
proju,(v + w) = proju,v + proju,w

Resposta

A projeção de v + w sobre u é igual à soma das projeções de v sobre u e de w sobre u, ou seja:
proju,(v + w) = proju,v + proju,w

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