Sejam
e
vetores quaisquer. Mostre que a projeção
é igual à projeção de
mais a projeção de
SUGESTÃO: Usar as propriedades e a interpretação geométrica do produto interno.
SUGESTÃO: Usar as propriedades e a interpretação geométrica do produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a projeção do vetor
sobre o vetor
é igual à soma das projeções de
sobre
e de
sobre
. Isso envolve entender o que é projeção de vetores e usar propriedades do produto interno (também conhecido como produto escalar).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de projeção de um vetor
sobre outro vetor
. A projeção de
em
é dada pela fórmula:
Aqui,
representa o produto interno entre os vetores
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a projeção de
sobre
usando a definição:
Passo 4
Vamos focar no numerador da fração:
. Sabemos que o produto interno é distributivo, ou seja:
Passo 5
Substituindo isso de volta na expressão da projeção, temos:
Passo 6
Podemos separar a fração em duas partes:
Isso corresponde exatamente às projeções individuais de
e
sobre
.
Passo 7
Portanto, temos:
Resposta
A projeção de
sobre
é igual à soma das projeções de
sobre
e de
sobre
, ou seja: