Mostre que o produto em R^2, definido por:
forall u=(a, b), v=(c, d) in R^2,lang<=u, vrang<==2 ac+ad+cb+bd,
é um produto interno.

Passo 1

O enunciado nos dá em R^2 o produto
forall u=(a,b),;v=(c,d), lang<= u,vrang<= = 2,a,c + a,d + c,b + b,d
Queremos mostrar que isso é um produto interno, ou seja, que ele satisfaz:
  1. simetria,
  2. bilinearidade,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria: trocando u por v obtemos
lang<= v,urang<= =2,c,a + c,b + a,d + d,b =2,a,c + a,d + c,b + b,d =lang<= u,vrang<=
Logo lang<=u,vrang<= = lang<=v,urang<=.

Passo 3

Verificamos a bilinearidade no primeiro argumento (a do segundo segue por simetria). Sejam u1=(a1,b1) e u2=(a2,b2) e lambdainR. Então
lang<= u1+u2,vrang<= =2,(a1+a2),c + (a1+a2),d + c,(b1+b2) + (b1+b2),d
;=l(2a1c + a1d + cb1 + b1dr) +l(2a2c + a2d + cb2 + b2dr) =lang<= u1,vrang<= + lang<= u2,vrang<=,
e
lang<= lambda,u1,vrang<= =2,(lambda a1),c + (lambda a1),d + c,(lambda b1) + (lambda b1),d =lambda,lang<= u1,vrang<=

Passo 4

Verificamos a positividade definida. Para u=(a,b)neq(0,0) temos
lang<= u,urang<= =2,a^2 + a,b + b,a + b^2 =2a^2 + 2ab + b^2
Reescrevendo,
2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 + a^2
Como (a+b)^2>=0 e a^2>=0, e pelo menos um desses quadrados é estritamente positivo quando (a,b)neq(0,0), segue
lang<= u,urang<= > 0

Passo 5

Como mostramos simetria, bilinearidade e positividade definida, concluímos que lang<=cdot,cdotrang<= é de fato um produto interno em R^2.

Resposta

O produto dado satisfaz todas as propriedades de um produto interno em R^2.

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