Mostre que o produto em
, definido por:
é um produto interno.
Passo 1
O enunciado nos dá em
o produto
Queremos mostrar que isso é um produto interno, ou seja, que ele satisfaz:
- simetria,
- bilinearidade,
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria: trocando
por
obtemos
Logo
.
Passo 3
Verificamos a bilinearidade no primeiro argumento (a do segundo segue por simetria). Sejam
e
e
. Então
e
Passo 4
Verificamos a positividade definida. Para
temos
Reescrevendo,
Como
e
, e pelo menos um desses quadrados é estritamente positivo quando
, segue
Passo 5
Como mostramos simetria, bilinearidade e positividade definida, concluímos que
é de fato um produto interno em
.
Resposta
O produto dado satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.