Sejam e vetores representados pelos lados adjacentes do paralelogramo . Mostre que o quadrado da altura relativa ao lado é
Usando essa expressão, verifique que

Passo 1

O enunciado define os vetores u=AC e w=AB, lados adjacentes de um paralelogramo ABDC. Ele pede duas coisas:
  1. Mostrar que
l|w-projuwr|^2 =|w|^2-(ucdotw)^2|u|^2
  1. Usar esse resultado para verificar que
Area(ABDC) =raiz|u|^2|w|^2-(ucdotw)^2
Conteúdo necessário: definição de projeção de vetores, propriedades de produto interno e norma, e área de paralelogramo como base vezes altura.

Passo 2

A projeção de w sobre u é
projuw =ucdotw|u|^2;u
Defina d=w-projuw. Então
|d|^2 =(w-projuw)cdot(w-projuw) =|w|^2 -2,wcdotprojuw +l|projuwr|^2
Compute:
wcdotprojuw =wcdotl(ucdotw|u|^2ur) =(ucdotw)^2|u|^2,
l|projuwr|^2 =l(ucdotw|u|^2r)^2|u|^2 =(ucdotw)^2|u|^2
Substituindo:
|d|^2 =|w|^2 -2,(ucdotw)^2|u|^2 +(ucdotw)^2|u|^2 =|w|^2-(ucdotw)^2|u|^2

Passo 3

A área do paralelogramo é base vezes altura. Tomando |u| como base e |d| como altura,
Area(ABDC) =|u|;|w-projuw| =|u|raiz|w|^2-(ucdotw)^2|u|^2 =raiz|u|^2|w|^2-(ucdotw)^2

Resposta

Area(ABDC) =raiz|u|^2|w|^2-(ucdotw)^2

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