Verifique que os sistemas têm uma única solução e encontre a solução, usando a regra de Cramer:
c2 x+y-3 z=-5 -2 y+z=0 4 x+3 y+2 z=7
Resolva também os sistemas colocando uma variável em função das outras, usando uma das equações do sistema, e substituindo essa variável pela relação encontrada nas outras equações para obter um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas. Qual é o método mais prático?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de três equações e três incógnitas
2x + y - 3z = -5, -2y + z = 0, 4x + 3y + 2z = 7,
e pede ( 1) verificar que há solução única e encontrá-la pela regra de Cramer e ( 2) resolver por substituição de uma variável em função das outras. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares 3times 3.

Passo 2

Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes
D = 2 & 1 & -3 0 & -2 & 1 4 & 3 & 2
Usando a regra de Sarrus:
D = 2cdot(-2)cdot2 + 1cdot1cdot4 + (-3)cdot0cdot3 -l[(-3)cdot(-2)cdot4 + 2cdot1cdot3 + 1cdot0cdot2r] = -4 - 30 = -34
Como Dneq0, o sistema tem solução única.

Passo 3

Calcular Dx, substituindo a primeira coluna pelo vetor dos termos independentes (-5,0,7):
Dx = -5 & 1 & -3 0 & -2 & 1 7 & 3 & 2 = 27 - 27 = 0

Passo 4

Calcular Dy, substituindo a segunda coluna por (-5,0,7):
Dy = 2 & -5 & -3 0 & 0 & 1 4 & 7 & 2 = -20 - 14 = -34

Passo 5

Calcular Dz, substituindo a terceira coluna por (-5,0,7):
Dz = 2 & 1 & -5 0 & -2 & 0 4 & 3 & 7 = -28 - 40 = -68

Passo 6

Pela regra de Cramer,
x = DxD = 0-34 = 0, y = DyD = -34-34 = 1, z = DzD = -68-34 = 2

Passo 7

Agora por substituição: da segunda equação -2y+z=0 obtemos
z = 2y
Substituindo em
2x + y - 3z = -5 e 4x + 3y + 2z = 7,
temos
2x + y - 3(2y) = -5 Longrightarrow 2x -5y = -5,
4x + 3y + 2(2y) = 7 Longrightarrow 4x +7y = 7

Passo 8

Resolver o sistema
Multiplicando a primeira por , e .

Passo 9

Os dois métodos dão a mesma solução (x,y,z)=(0,1,2). A regra de Cramer é sistemática mas exige quatro determinantes; a substituição costuma ser mais prática quando uma equação isola facilmente uma variável.

Resposta

A solução única é (x,y,z)=(0,1,2).\nO método mais prático, neste caso, é o de substituição.

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