Usando vetores, norma e produto interno, prove que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos de seus quatro lados, isto é, vale a Lei do Paralelogramo:
|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)
Obtenha o Teorema de Pitágoras aplicando a Lei do Paralelogramo num quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando vetores, norma e produto interno, que num paralelogramo de lados representados pelos vetores u e v vale a identidade conhecida como Lei do Paralelogramo:
|u+v|^2+|u-v|^2 =2l(|u|^2+|v|^2r)
Para isso vamos usar a definição de norma em termos de produto interno, a bilinearidade e a simetria do produto interno. Depois, aplicamos essa lei a um paralelogramo cujos ângulos adjacentes são retos (um retângulo) para deduzir o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Recordando que para qualquer vetor w temos
|w|^2=lang<=w,wrang<=,
começamos expandindo cada termo do lado esquerdo da Lei do Paralelogramo:
|u+v|^2 =lang<=u+v,,u+vrang<= =lang<=u,urang<= +2lang<=u,vrang<= +lang<=v,vrang<= =|u|^2+2lang<=u,vrang<=+|v|^2
|u-v|^2 =lang<=u-v,,u-vrang<= =lang<=u,urang<= -2lang<=u,vrang<= +lang<=v,vrang<= =|u|^2-2lang<=u,vrang<=+|v|^2

Passo 3

Somando os dois resultados das expansões, os termos com lang<=u,vrang<= cancelam:
|u+v|^2+|u-v|^2 =l(|u|^2+2lang<=u,vrang<=+|v|^2r) +l(|u|^2-2lang<=u,vrang<=+|v|^2r) =2l(|u|^2+|v|^2r)
Isso conclui a prova da Lei do Paralelogramo.

Passo 4

Para obter o Teorema de Pitágoras, considere um paralelogramo cujos lados formam um ângulo reto, ou seja, lang<=u,vrang<==0. Nesse caso temos um retângulo de lados de comprimentos a=|u| e b=|v|. As duas diagonais são os vetores u+v e u-v, mas num retângulo ambas têm o mesmo comprimento, digamos c. Aplicando a Lei do Paralelogramo:
|u+v|^2+|u-v|^2 =2l(a^2+b^2r)
Como |u+v|=|u-v|=c, o lado esquerdo é c^2+c^2=2c^2. Logo
2c^2=2l(a^2+b^2r) Longrightarrow c^2=a^2+b^2,
que é exatamente o Teorema de Pitágoras.

Resposta

Prova da Lei do Paralelogramo:
|u+v|^2+|u-v|^2 =2l(|u|^2+|v|^2r)
Aplicando a um retângulo (ângulo reto entre u e v) obtemos
c^2=a^2+b^2,
isto é, o Teorema de Pitágoras.

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