Usando vetores, norma e produto interno, prove que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos de seus quatro lados, isto é, vale a Lei do Paralelogramo:
Obtenha o Teorema de Pitágoras aplicando a Lei do Paralelogramo num quadrado.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando vetores, norma e produto interno, que num paralelogramo de lados representados pelos vetores
e
vale a identidade conhecida como Lei do Paralelogramo:
Para isso vamos usar a definição de norma em termos de produto interno, a bilinearidade e a simetria do produto interno. Depois, aplicamos essa lei a um paralelogramo cujos ângulos adjacentes são retos (um retângulo) para deduzir o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Recordando que para qualquer vetor
temos
começamos expandindo cada termo do lado esquerdo da Lei do Paralelogramo:
Passo 3
Somando os dois resultados das expansões, os termos com
cancelam:
Isso conclui a prova da Lei do Paralelogramo.
Passo 4
Para obter o Teorema de Pitágoras, considere um paralelogramo cujos lados formam um ângulo reto, ou seja,
. Nesse caso temos um retângulo de lados de comprimentos
e
. As duas diagonais são os vetores
e
, mas num retângulo ambas têm o mesmo comprimento, digamos
. Aplicando a Lei do Paralelogramo:
Como
, o lado esquerdo é
. Logo
que é exatamente o Teorema de Pitágoras.
Resposta
Prova da Lei do Paralelogramo:
Aplicando a um retângulo (ângulo reto entre
e
) obtemos
isto é, o Teorema de Pitágoras.