Sejam os vetores u, v, w e os números reais k1, k2. Provar as seguintes propriedades:
k1(u+v)=k1 u+k1 v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial sobre R (por exemplo R^n), a multiplicação escalar distribui-se sobre a soma de vetores, ou seja,
k1(u+v) = k1u + k1v
Vamos usar a definição de soma e de multiplicação escalar em coordenadas e a distributividade dos reais.

Passo 2

Escrevemos u e v em coordenadas:
u = (u1,u2,dots,un), v = (v1,v2,dots,vn)
Por definição,
u + v = (u1+v1,,u2+v2,dots,un+vn),
e para um escalar k1,
k1,(x1,x2,dots,xn) = (k1x1,,k1x2,dots,k1xn)

Passo 3

Aplicando a multiplicação escalar à soma u+v, temos
k1(u+v) = k1l(u1+v1,,dots,,un+vnr) = l(k1(u1+v1),,dots,,k1(un+vn)r)
Pela distributividade em R,
k1(ui+vi) = k1ui + k1vi para cada i=1,dots,n,
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k1(u+v) = (k1u1+k1v1,,dots,,k1un+k1vn) = (k1u1,dots,k1un) + (k1v1,dots,k1vn) = k1u + k1v

Resposta

Portanto, ficou demonstrado que
k1(u+v) = k1u + k1v

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