Interprete geometricamente os conjuntos a seguir e explique porque eles não são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=\left\{(x, y) \in R^{2}, y=2 x-3\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=2x-3\}
e pede duas coisas: (i) interpretar geometricamente esse conjunto; (ii) explicar por que ele não é um espaço vetorial quando usamos a adição e multiplicação por escalar usuais em \mathbb{R}^2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação cartesiana y=2x-3 relaciona x e y.
  • Estamos trabalhando no plano \mathbb{R}^2 com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Interpretação geométrica (passo-a-passo, bem visual):
  • A equação y=2x-3 é a equação de uma reta no plano. A forma y=mx+b tem m como inclinação (coeficiente angular) e b como intercepto no eixo y.
  • Aqui m=2 (reta sobe 2 unidades em y para cada 1 em x) e b=-3 (a reta cruza o eixo y no ponto (0,-3)).
  • Exemplos de pontos na reta: (0,-3) e (1,-1) porque -3 = 2\cdot0-3 e -1 = 2\cdot1-3.
  • Como b=-3\neq0, a reta não passa pela origem (0,0). Portanto geometricamente S é uma reta deslocada (uma reta afim) paralela a uma reta que tivesse equação y=2x, mas deslocada para baixo 3 unidades.

Passo 3

Lembrete (aula rápida sobre o que é preciso para ser um espaço vetorial, focando no caso de subconjunto de \mathbb{R}^2):
  • Para um subconjunto U\subseteq\mathbb{R}^2 ser um subespaço vetorial (isto é, ser um espaço vetorial com as operações usuais), é suficiente e necessário que:
    1. U seja não vazio;
    2. U seja fechado sob adição: se u,v\in U então u+v\in U;
    3. U seja fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in U.
  • Uma consequência útil: se U é subespaço então o vetor nulo (0,0) deve pertencer a U (porque 0\cdot u=(0,0) para qualquer u\in U).

Passo 4

Verificação do vetor nulo:
  • Testar se (0,0)\in S. Substituindo em y=2x-3 com x=0 e y=0 obtém-se 0 = 2\cdot 0 -3, ou seja 0=-3, que é falso.
  • Logo (0,0)\notin S. Como um espaço vetorial precisa conter o vetor nulo, isso já é suficiente para concluir que S não é um espaço vetorial.

Passo 5

Contraexemplo explícito à fechadura por adição (mostrando passo a passo para usar na prova):
  • Tomemos os dois vetores que sabemos estar em S: u=(0,-3) e v=(1,-1).
  • Verificar que estão em S: para u, -3 = 2\cdot0-3; para v, -1 = 2\cdot1-3.
  • Somando: u+v=(0+1,\,-3+(-1))=(1,-4).
  • Verificar se u+v\in S: a condição seria -4 = 2\cdot 1 -3. O lado direito é 2-3=-1, portanto -4\neq -1.
  • Conclusão: u+v\notin S. Assim S não é fechado sob adição.

Passo 6

Contraexemplo explícito à fechadura por multiplicação por escalar (mais um caminho direto):
  • Pegue v=(1,-1)\in S (já verificado).
  • Multiplique por escalar \alpha=2: \alpha v = 2(1,-1)=(2,-2).
  • Verificar se 2v\in S: a condição seria -2 = 2\cdot 2 -3. O lado direito é 4-3=1, então -2\neq 1.
  • Alternativa imediata e simples: multiplicar qualquer w\in S por 0 daria 0\cdot w=(0,0)\notin S. Portanto já falha a condição de fechamento por escalares em 0.
  • Conclusão: S não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 7

Intuição final e conclusão didática:
  • Geometricamente S é uma reta afim (reta que foi traduzida, deslocada) que não passa pela origem.
  • Espaços vetoriais (subespaços lineares) que são retas em \mathbb{R}^2 devem necessariamente passar pela origem (essas são exatamente as retas do tipo y=mx). Reta com forma y=mx+b com b\neq0 é um deslocamento — chamamos de espaço afim — e não é fechada pelas operações lineares da estrutura vetorial.
  • Por isso, S não satisfaz os requisitos (não contém (0,0), não é fechado por adição nem por multiplicação por escalar) e portanto não é um espaço vetorial com as operações usuais.

Resposta

S é uma reta no plano com inclinação 2 e intercepto em y igual a -3 (não passa pela origem). S não é um espaço vetorial porque não contém o vetor nulo (0,0) (pois 0\neq -3) e falha a fechadura: por exemplo (0,-3),(1,-1)\in S mas (0,-3)+(1,-1)=(1,-4)\notin S; também 0\cdot(0,-3)=(0,0)\notin S. Portanto S não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar.

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