Interprete geometricamente os conjuntos a seguir e explique porque eles não são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede duas coisas: (i) interpretar geometricamente esse conjunto; (ii) explicar por que ele não é um espaço vetorial quando usamos a adição e multiplicação por escalar usuais em
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação cartesiana
relaciona e . - Estamos trabalhando no plano
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Interpretação geométrica (passo-a-passo, bem visual):
- A equação
é a equação de uma reta no plano. A forma tem como inclinação (coeficiente angular) e como intercepto no eixo . - Aqui
(reta sobe 2 unidades em para cada 1 em ) e (a reta cruza o eixo no ponto ). - Exemplos de pontos na reta:
e porque e . - Como
, a reta não passa pela origem . Portanto geometricamente é uma reta deslocada (uma reta afim) paralela a uma reta que tivesse equação , mas deslocada para baixo 3 unidades.
Passo 3
Lembrete (aula rápida sobre o que é preciso para ser um espaço vetorial, focando no caso de subconjunto de
):
- Para um subconjunto
ser um subespaço vetorial (isto é, ser um espaço vetorial com as operações usuais), é suficiente e necessário que: -
seja não vazio; -
seja fechado sob adição: se então ; -
seja fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
-
- Uma consequência útil: se
é subespaço então o vetor nulo deve pertencer a (porque para qualquer ).
Passo 4
Verificação do vetor nulo:
- Testar se
. Substituindo em com e obtém-se , ou seja , que é falso. - Logo
. Como um espaço vetorial precisa conter o vetor nulo, isso já é suficiente para concluir que não é um espaço vetorial.
Passo 5
Contraexemplo explícito à fechadura por adição (mostrando passo a passo para usar na prova):
- Tomemos os dois vetores que sabemos estar em
: e . - Verificar que estão em
: para , ; para , . - Somando:
. - Verificar se
: a condição seria . O lado direito é , portanto . - Conclusão:
. Assim não é fechado sob adição.
Passo 6
Contraexemplo explícito à fechadura por multiplicação por escalar (mais um caminho direto):
- Pegue
(já verificado). - Multiplique por escalar
: . - Verificar se
: a condição seria . O lado direito é , então . - Alternativa imediata e simples: multiplicar qualquer
por daria . Portanto já falha a condição de fechamento por escalares em . - Conclusão:
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 7
Intuição final e conclusão didática:
- Geometricamente
é uma reta afim (reta que foi traduzida, deslocada) que não passa pela origem. - Espaços vetoriais (subespaços lineares) que são retas em
devem necessariamente passar pela origem (essas são exatamente as retas do tipo ). Reta com forma com é um deslocamento — chamamos de espaço afim — e não é fechada pelas operações lineares da estrutura vetorial. - Por isso,
não satisfaz os requisitos (não contém , não é fechado por adição nem por multiplicação por escalar) e portanto não é um espaço vetorial com as operações usuais.