Seja
de forma que
a) ( 2,5 pontos) Mostre que
é uma transformaçãoo linear.
b) ( 2,5 pontos) Determine a matriz canônica dessa transformação linear.
Passo 1
O enunciado define
por
O conteúdo é transformação linear e matriz canônica (ou matriz padrão). Para mostrar que
é linear, vamos usar a definição: para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, deve valer
-
-
.
Passo 2
Sejam
e
. Então
e
Reagrupando termos, isso é
Mas cada soma é
. Logo
Passo 3
Para homogeneidade, seja
e
. Então
e
Assim,
.
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.
Para achar a matriz canônica
de
, aplicamos
nos vetores da base padrão de
:
Calculamos
Esses são as colunas da matriz
em relação às bases canônicas de
e
.
Resposta
A matriz canônica de
é