Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} de forma que
T(x, y)=(2 x, y-x, y)
a) ( 2,5 pontos) Mostre que T é uma transformaçãoo linear.
\checkmark b) ( 2,5 pontos) Determine a matriz canônica dessa transformação linear.

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y) = (2x,\;y - x,\;y).
O conteúdo é transformação linear e matriz canônica (ou matriz padrão). Para mostrar que T é linear, vamos usar a definição: para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \lambda, deve valer
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(\lambda u)=\lambda\,T(u).

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e
T(u+v) = \bigl(2(x_1+x_2),\;(y_1+y_2)-(x_1+x_2),\;y_1+y_2\bigr).
Reagrupando termos, isso é
(2x_1+2x_2,\;(y_1-x_1)+(y_2-x_2),\;y_1+y_2) = (2x_1,y_1-x_1,y_1) + (2x_2,y_2-x_2,y_2).
Mas cada soma é T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)=T(u)+T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
\lambda\,u = (\lambda x,\;\lambda y)
e
T(\lambda u) = \bigl(2(\lambda x),\;\lambda y - \lambda x,\;\lambda y\bigr) = \bigl(\lambda\cdot2x,\;\lambda(y-x),\;\lambda y\bigr) = \lambda\,(2x,y-x,y) = \lambda\,T(u).
Assim, T(\lambda u)=\lambda\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.
Para achar a matriz canônica A de T, aplicamos T nos vetores da base padrão de \mathbb{R}^2:
e_1 = (1,0),\quad e_2 = (0,1).
Calculamos
T(e_1) = T(1,0) = (2\cdot1,\;0-1,\;0) = (2,-1,0),
T(e_2) = T(0,1) = (2\cdot0,\;1-0,\;1) = (0,1,1).
Esses são as colunas da matriz A em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.

Resposta

A matriz canônica de T é
A = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ -1 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

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