Sejam os vetores \vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
\vec{A} \cdot \vec{B}

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei estes valores do enunciado):
  • \vec{A}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+\hat{k}
  • \vec{B}=-4\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}
O que se pede: calcular o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 2

Definição e ideias importantes (mini-aula): se escrevermos
\vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z),
então o produto escalar é dado por
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Explicando devagar: o produto escalar combina componentes correspondentes e soma os produtos. Isso vem também das propriedades dos versores: \hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=1, \hat{\jmath}\cdot\hat{\jmath}=1, \hat{k}\cdot\hat{k}=1 e \hat{\imath}\cdot\hat{\jmath}=\hat{\imath}\cdot\hat{k}=\hat{\jmath}\cdot\hat{k}=0. Por isso só aparecem os produtos dos componentes na mesma direção.

Passo 3

Identificar as componentes a partir dos vetores dados (peguei estes números do enunciado):
  • Para \vec{A}: A_x=2, A_y=3, A_z=1.
  • Para \vec{B}: B_x=-4, B_y=2, B_z=-1.

Passo 4

Calcular os produtos componente a componente:
  • A_xB_x = 2\cdot(-4) = -8,
  • A_yB_y = 3\cdot 2 = 6,
  • A_zB_z = 1\cdot(-1) = -1.

Passo 5

Somar os produtos para obter o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=(-8)+6+(-1).
Fazendo as contas passo a passo: -8+6=-2 e -2-1=-3.

Passo 6

Interpretação rápida e motivadora: o resultado -3 é negativo, o que indica que o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é obtuso (maior que 90^\circ). Mas para a prova, o que importa aqui é saber aplicar a fórmula e fazer as contas com calma — e você fez isso direitinho seguindo os passos acima. Força que já era!

Resposta

-3

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