Sejam os vetores
e
.
Determine:
o ângulo entre
e
.
o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá os vetores e pede o ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que é pedido:
- Determinar o ângulo
entre e .
Passo 2
Usaremos a definição do produto escalar (dot product) para obter o cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula fundamental é:
onde:
-
é o produto escalar de e ; -
e são as normas (comprimentos) dos vetores; -
é o ângulo entre eles, com .
Explicação intuitiva: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; dividindo pelo produto das normas obtemos exatamente
, daí a relação com o ângulo.
Passo 3
Como os vetores estão em coordenadas cartesianas, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Escrevendo as componentes:
Então:
Passo 4
Agora calculamos as normas com a fórmula da norma euclidiana:
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo 2 para obter
:
Podemos simplificar
, portanto
Como checar numericamente (opcional):
.
Passo 6
Para obter o ângulo usamos a função inversa do cosseno:
Convertendo para valores numéricos, obtemos (aproximação):