Sejam os vetores \vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
  • \vec{A}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+\hat{k}.
  • \vec{B}=-4\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}.
O que é pedido:
  • Determinar o ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}.

Passo 2

Usaremos a definição do produto escalar (dot product) para obter o cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula fundamental é:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta,
onde:
  • \vec{A}\cdot\vec{B} é o produto escalar de \vec{A} e \vec{B};
  • |\vec{A}| e |\vec{B}| são as normas (comprimentos) dos vetores;
  • \theta é o ângulo entre eles, com 0\le\theta\le\pi.
Explicação intuitiva: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; dividindo pelo produto das normas obtemos exatamente \cos\theta, daí a relação com o ângulo.

Passo 3

Como os vetores estão em coordenadas cartesianas, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Escrevendo as componentes:
\vec{A}=(2,\,3,\,1),\qquad \vec{B}=(-4,\,2,\,-1).
Então:
\vec{A}\cdot\vec{B}=2\cdot(-4)+3\cdot2+1\cdot(-1)=-8+6-1=-3.

Passo 4

Agora calculamos as normas com a fórmula da norma euclidiana:
|\vec{A}|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14},
|\vec{B}|=\sqrt{(-4)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo 2 para obter \cos\theta:
\cos\theta=\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}=\dfrac{-3}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}}=\dfrac{-3}{\sqrt{294}}.
Podemos simplificar \sqrt{294}=\sqrt{49\cdot6}=7\sqrt{6}, portanto
\cos\theta=-\dfrac{3}{7\sqrt{6}}.
Como checar numericamente (opcional): \cos\theta\approx -0{,}174927.

Passo 6

Para obter o ângulo usamos a função inversa do cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{3}{7\sqrt{6}}\right).
Convertendo para valores numéricos, obtemos (aproximação):
\theta\approx 100{,}07^\circ\approx 1{,}7466\\ \text{rad}.

Resposta

\theta \approx 100{,}07^\circ \approx 1{,}7466\\ \text{rad}

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