Sejam os vetores \vec{u}=(3,2,1) e \vec{v}=(-1,-4,-1), calcule (\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,2,1) e \vec{v}=(-1,-4,-1) e pede para calcular o produto escalar
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
Informações relevantes:
\vec{u} e \vec{v} estão escritas por componentes (três coordenadas cada).
A única pergunta é encontrar o valor numérico de (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades necessárias (devagarinho, passo a passo):
A definição do produto escalar entre dois vetores por componentes é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
onde a_1,a_2,a_3 são as componentes de \vec{a} e b_1,b_2,b_3 são as componentes de \vec{b}.
Propriedades importantes que vamos usar:
  • O produto escalar é distributivo em relação à soma:
(\vec{x}+\vec{y})\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}.
  • O produto escalar é comutativo:
\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}.
Usando distributividade, expandimos o produto pedido:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}.
Pela comutatividade \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}, então os termos mistos se cancelam:
\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}.
Ou seja, ficamos com a diferença dos quadrados das normas (porque \vec{a}\cdot\vec{a}= \|\vec{a}\|^2):
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 3

Agora calculamos \vec{u}\cdot\vec{u}. Usando a definição por componentes:
\vec{u}\cdot\vec{u}=3\cdot3+2\cdot2+1\cdot1.
Faço as multiplicações:
3\cdot3=9,\quad 2\cdot2=4,\quad 1\cdot1=1.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{u}=9+4+1=14.

Passo 4

Agora calculamos \vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=(-1)\cdot(-1)+(-4)\cdot(-4)+(-1)\cdot(-1).
Faço as multiplicações:
(-1)\cdot(-1)=1,\quad (-4)\cdot(-4)=16,\quad (-1)\cdot(-1)=1.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{v}=1+16+1=18.
Usando a identidade do Passo 2:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=14-18=-4.

Resposta

-4

Exercícios relacionados