Determine o valor de k para que os vetores \vec{u}=(2,-1, k), \vec{v}=(1,0,-2) e \vec{w}= (-1,-2,-3) sejam coplanares

Passo 1

O enunciado fornece três vetores no espaço tridimensional:
\vec{u}=(2,-1,k),\qquad \vec{v}=(1,0,-2),\qquad \vec{w}=(-1,-2,-3).
A pergunta é: determinar o valor de k para que esses três vetores sejam coplanares (ou seja, pertençam a um mesmo plano).

Passo 2

O que significa “coplanares” aqui? Vou explicar de um jeito prático e direto: três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o volume do paralelepípedo que eles formam é zero. Esse volume é dado pelo produto misto (ou produto escalar triplo) dos vetores, que matematicamente é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Então, para testar coplanaridade basta calcular esse determinante e exigir que ele seja zero.
Explicando a fórmula com calma:
\text{produto misto} = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u}, v_1,v_2,v_3 as de \vec{v} e w_1,w_2,w_3 as de \vec{w}. Se esse determinante for igual a zero, o volume é zero e os vetores são coplanares.]

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso caso, formamos a matriz cujas linhas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\det\begin{pmatrix} 2 & -1 & k\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Queremos o valor de k tal que esse determinante seja zero.]

Passo 4

Agora vou calcular o determinante passo a passo usando a expansão pela primeira linha. A fórmula geral para expansão pela primeira linha, com entradas a_{11},a_{12},a_{13}, é
\det = a_{11}\,(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}\,(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}\,(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
No nosso caso, a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{13}=k; a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=-2; a_{31}=-1, a_{32}=-2, a_{33}=-3.
Vou calcular cada termo interno com calma.
Primeiro termo:
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} = 0\cdot(-3) - (-2)\cdot(-2) = 0 - 4 = -4.
Multiplicando por a_{11}=2
2\cdot(-4) = -8.
Segundo termo:
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} = 1\cdot(-3) - (-2)\cdot(-1) = -3 - 2 = -5.
Agora multiplicamos por -a_{12} conforme a fórmula (lembra que a fórmula tem o sinal negativo no segundo termo):
- a_{12}\,(...) = -(-1)\cdot(-5) = 1\cdot(-5) = -5.
Terceiro termo:
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} = 1\cdot(-2) - 0\cdot(-1) = -2 - 0 = -2.
Multiplicando por a_{13}=k
k\cdot(-2) = -2k.
Somando os três termos obtemos o determinante:
\det = -8 + (-5) + (-2k) = -13 - 2k.

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares precisamos que o determinante seja zero. Então impomos
-13 - 2k = 0.
Isolando k:
-2k = 13 \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{13}{2}.

Passo 6

Pequena verificação (opcional, só pra ficar seguro): substituindo k=-\dfrac{13}{2} no determinante teremos -13 -2\cdot\left(-\dfrac{13}{2}\right) = -13 +13 = 0, ou seja, dá zero mesmo — confirmando que com esse k os vetores são coplanares.

Resposta

-\dfrac{13}{2}

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