A pergunta é: determinar o valor de k para que esses três vetores sejam coplanares (ou seja, pertençam a um mesmo plano).
Passo 2
O que significa “coplanares” aqui? Vou explicar de um jeito prático e direto: três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o volume do paralelepípedo que eles formam é zero. Esse volume é dado pelo produto misto (ou produto escalar triplo) dos vetores, que matematicamente é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Então, para testar coplanaridade basta calcular esse determinante e exigir que ele seja zero.
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u}, v_1,v_2,v_3 as de \vec{v} e w_1,w_2,w_3 as de \vec{w}. Se esse determinante for igual a zero, o volume é zero e os vetores são coplanares.]
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso, formamos a matriz cujas linhas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
Queremos o valor de k tal que esse determinante seja zero.]
Passo 4
Agora vou calcular o determinante passo a passo usando a expansão pela primeira linha. A fórmula geral para expansão pela primeira linha, com entradas a_{11},a_{12},a_{13}, é
Para que os vetores sejam coplanares precisamos que o determinante seja zero. Então impomos
-13 - 2k = 0.
Isolando k:
-2k = 13 \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{13}{2}.
Passo 6
Pequena verificação (opcional, só pra ficar seguro): substituindo k=-\dfrac{13}{2} no determinante teremos -13 -2\cdot\left(-\dfrac{13}{2}\right) = -13 +13 = 0, ou seja, dá zero mesmo — confirmando que com esse k os vetores são coplanares.