QUESTÃO No.4 (25 pontos)
Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI) :
onde
é uma função conhecida.
Utilizando conhecimentos da primeira disciplina de Equações Diferenciais (“EDO P”), e o Método de Variação de Parâmetros, pude-se chegar a que a solução do PVI em questāo vem dada por
onde
Deduza este resultado utilizando como ferramenta unicamente a Transformada de Laplace e suas propriedades.
Observação importante:
Este exercício não será corrigido se ele for resolvido de uma forma diferente daquela indicada no enunciado.
Utilizando conhecimentos da primeira disciplina de Equações Diferenciais (“EDO P”), e o Método de Variação de Parâmetros, pude-se chegar a que a solução do PVI em questāo vem dada por
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
onde
é conhecida.
A meta é deduzir, usando apenas a Transformada de Laplace e suas propriedades, que a solução pode ser escrita como
A meta é deduzir, usando apenas a Transformada de Laplace e suas propriedades, que a solução pode ser escrita como
com
Passo 2
Aplicar a Transformada de Laplace ao PVI.
Definição e propriedades que vamos usar:
- A Transformada de Laplace de
é . - Linearidade:
. - Derivadas:
e , onde .
Como
e
, ao aplicar
à equação obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas:
onde
. Portanto
Passo 3
Manipular o denominador e identificar a resposta ao impulso.
Faço completar quadrado no denominador:
Logo
Agora preciso reconhecer a transformada inversa de
. Uso a transformada conhecida
Tomando
e
obtemos
Portanto
Isto mostra que a função no tempo correspondente a
é
Passo 4
Aplicar o Teorema da Convolução para voltar ao domínio do tempo.
Teorema da Convolução: se
e
, então
No nosso caso
, logo
com
. Note que a convolução começa em
porque usamos a transformada unilateral e supomos causalidade (sistema inicia em
).
Passo 5
Calcular explicitamente a convolução e reescrever na forma pedida.
Escrevo
explicitamente:
Assim
Factorizo
para fora da integral porque não depende de
:
Agora uso a identidade trigonométrica da diferença:
Substituindo na integral:
Como
e
não dependem de
, posso tirá-los para fora da integral:
Passo 6
Identificar
e
conforme enunciado e escrever a forma final.
Defino
Com essas definições a expressão anterior fica exatamente
que é o resultado pedido.