Sejam os vetores vec{u}=(3,-2,-6), vec{v}=(2,-1,0) e vec{w}=(1,3,4), determine:
(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores:
\vec{u}=(3,-2,-6),\quad \vec{v}=(2,-1,0),\quad \vec{w}=(1,3,4).
O que pede: calcular o produto escalar entre o vetor \vec{u}\times\vec{v} (produto vetorial de \vec{u} por \vec{v}) e o vetor \vec{w}; isto é, encontrar
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
As informações relevantes são exatamente as componentes dos três vetores acima.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto vetorial e como calculá-lo. O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos. Em termos de componentes, se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então usamos a regra do determinante:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
onde \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 são os vetores unitários nas direções x,y,z. Expandindo por co-fatores, as componentes ficam
(\vec{a}\times\vec{b})_1 = a_2b_3 - a_3b_2,
(\vec{a}\times\vec{b})_2 = -(a_1b_3 - a_3b_1),
(\vec{a}\times\vec{b})_3 = a_1b_2 - a_2b_1.
Aqui, cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores (por exemplo a_1 é a componente x de \vec{a}).]

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula para \vec{u}=(3,-2,-6) e \vec{v}=(2,-1,0). Calculamos componente a componente:
Primeira componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2v_3 - u_3v_2 = (-2)\cdot 0 - (-6)\cdot(-1) = 0 - 6 = -6.
Segunda componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = -(u_1v_3 - u_3v_1) = -\bigl(3\cdot 0 - (-6)\cdot 2\bigr) = -\bigl(0 + 12\bigr) = -12.
Terceira componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1v_2 - u_2v_1 = 3\cdot(-1) - (-2)\cdot 2 = -3 + 4 = 1.
Portanto obtivemos
\vec{u}\times\vec{v}=(-6,\,-12,\,1).

Passo 4

Agora lembramos o que é o produto escalar (dot product). Se \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3), então
\vec{p}\cdot\vec{q} = p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3.
Aqui cada termo é o produto das componentes correspondentes, e depois somamos.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do produto escalar entre \vec{u}\times\vec{v}=(-6,-12,1) e \vec{w}=(1,3,4):
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = (-6)\cdot 1 + (-12)\cdot 3 + 1\cdot 4 = -6 -36 +4.

Resposta

-38

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