Determine o ângulo entre os vetores \vec{u}=(10,-5,0) e \vec{v}=(1,2,3)

Passo 1

O que o problema pede: determinar o ângulo entre os vetores \vec{u}=(10,-5,0) e \vec{v}=(1,2,3).\n
Informações dadas (componentes dos vetores):
\vec{u}=(10,-5,0) e \vec{v}=(1,2,3).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): a relação entre produto escalar, norma e ângulo. Para dois vetores \vec{a} e \vec{b} no espaço, o produto escalar pode ser calculado de duas formas equivalentes:
\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\theta
onde \theta é o ângulo entre eles, e também
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3). Aqui:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (um número);
  • \|\vec{a}\| é a norma (comprimento) de \vec{a}, dada por \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2};
  • \theta é o que queremos achar. \n
    Estratégia prática: calcular o produto escalar pelo método componente a componente; depois usar a relação para obter \cos\theta e finalmente \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta).

Passo 3

Calcular o produto escalar usando componentes:
\vec{u}\cdot\vec{v} = (10)\cdot(1) + (-5)\cdot(2) + (0)\cdot(3).
Fazendo as multiplicações e somas passo a passo:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 10 + (-10) + 0 = 0.

Passo 4

Interpretação do resultado: o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} é igual a 0. Pela fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
seguimos que
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Como o numerador é 0, teremos \cos\theta=0 (desde que \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| não sejam 0; aqui não são).

Passo 5

Para completar e exemplificar como se faria quando o produto escalar não é zero, calculamos as normas (mesmo que não sejam necessárias para concluir):
\|\vec{u}\| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{100+25+0} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5},
\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}.
Produto das normas (positivo):
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| = 5\sqrt{5}\cdot\sqrt{14} = 5\sqrt{70}.
Mas, como \vec{u}\cdot\vec{v}=0, temos
\cos\theta = \frac{0}{5\sqrt{70}} = 0.

Passo 6

Resolver para \theta: \cos\theta=0 implica
\theta = \operatorname{arccos}(0).
Lembrando que \operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2} radianos, que é o mesmo que 90^\circ. Isso significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares). Vou te animar: quando o produto escalar dá zero, é sinal bonito — os vetores formam um ângulo reto!

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ)

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