Determine o ângulo entre os vetores
e
Passo 1
O que o problema pede: determinar o ângulo entre os vetores
e
.\n
Informações dadas (componentes dos vetores):
e
.
Informações dadas (componentes dos vetores):
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): a relação entre produto escalar, norma e ângulo. Para dois vetores
e
no espaço, o produto escalar pode ser calculado de duas formas equivalentes:
onde
é o ângulo entre eles, e também
se
e
. Aqui:
-
é o produto escalar (um número); -
é a norma (comprimento) de , dada por ; -
é o que queremos achar. \n
Estratégia prática: calcular o produto escalar pelo método componente a componente; depois usar a relação para obtere finalmente .
Passo 3
Calcular o produto escalar usando componentes:
Fazendo as multiplicações e somas passo a passo:
Passo 4
Interpretação do resultado: o produto escalar
é igual a
. Pela fórmula
seguimos que
Como o numerador é
, teremos
(desde que
e
não sejam
; aqui não são).
Passo 5
Para completar e exemplificar como se faria quando o produto escalar não é zero, calculamos as normas (mesmo que não sejam necessárias para concluir):
Produto das normas (positivo):
Mas, como
, temos
Passo 6
Resolver para
:
implica
Lembrando que
radianos, que é o mesmo que
. Isso significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares). Vou te animar: quando o produto escalar dá zero, é sinal bonito — os vetores formam um ângulo reto!