Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1){n}}{n{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^{n}}{n^{2n}}.
O conteúdo aqui é aplicação de um teste de convergência de séries numéricas; como cada termo é não-negativo, podemos usar o teste da raiz para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos a_n = \frac{(2n+1)^{n}}{n^{2n}}. No teste da raiz, calculamos
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n^2} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\Bigr) =0.
Como esse limite L=0 satisfaz L<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

Exercícios relacionados