3 Sejam W \subset \mathbb{R}^{3} a região limitada pelo plano z=0 e a semi esfera z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} e f: W \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x, y, z)=z. Calcule \int_{W} f d V

Passo 1

O enunciado dá:
  • A região W\subset\mathbb{R}^3 é limitada pelo plano \,z=0 e pela semiesfera \,z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\, (ou seja, a parte superior da esfera de raio 1 centrada na origem).
  • A função é f:W\to\mathbb{R} dada por f(x,y,z)=z.
    O que se pede:
  • Calcular a integral de volume \displaystyle\int_{W} f\,dV = \int_{W} z\,dV.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação).
  • Observação prática: a região W é simétrica ao redor do eixo z e sua projeção no plano xy é o disco de raio 1 (porque x^{2}+y^{2}\le 1 quando \,0\le z\le\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,). Por causa dessa simetria, usar coordenadas cilíndricas costuma ser a maneira mais simples.
  • Coordenadas cilíndricas: \,x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z\,. Aqui r\ge0 é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar.
  • Jacobiano: ao trocar de (x,y,z) para (r,\theta,z), o elemento de volume transforma-se em \,dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Explicação curta do porquê: em coordenadas cilíndricas um retângulo infinitesimal em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta, daí o fator r.

Passo 3

Determinação dos limites de integração.
  • Projeção de W no plano xy: disco unitário \{(x,y): x^{2}+y^{2}\le1\}. Em coordenadas cilíndricas isso é 0\le r\le1 e 0\le\theta\le 2\pi.
  • Para cada (r,\theta) fixos, z varia entre o plano inferior e a semiesfera superior: 0\le z\le \sqrt{1-r^{2}} (pegou-se \,x^{2}+y^{2}=r^{2} da projeção).
    Portanto os limites são
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 1,\qquad 0\le z\le \sqrt{1-r^{2}}.

Passo 4

Escrita da integral em coordenadas cilíndricas.
  • A integranda é z, e o elemento de volume é r\,dz\,dr\,d\theta. Logo
\int_{W} z\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\; r\; dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral interna em z.
  • Calcular \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\,r\,dz. Como r é constante em relação a z, tem-se
\int_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\,r\,dz = r\int_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\,dz = r\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} = r\cdot\frac{1-r^{2}}{2}.
  • Simplificando a expressão: r\cdot\frac{1-r^{2}}{2} = \frac{r - r^{3}}{2}.

Passo 6

Cálculo da integral em r.
  • Agora integrar em r:
\int_{r=0}^{1} \frac{r - r^{3}}{2}\,dr = \frac{1}{2}\left[\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{8}.

Passo 7

Cálculo da integral em \theta e conclusão.
  • A integral em \theta é simplesmente multiplicar por 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{8}\,d\theta = \frac{1}{8}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{4}.
Portanto \displaystyle\int_{W} z\,dV = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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