3 Sejam
a região limitada pelo plano
e a semi esfera
e
. Calcule
Passo 1
O enunciado dá:
- A região
é limitada pelo plano e pela semiesfera (ou seja, a parte superior da esfera de raio centrada na origem). - A função é
dada por .
O que se pede: - Calcular a integral de volume
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivação).
- Observação prática: a região
é simétrica ao redor do eixo e sua projeção no plano é o disco de raio (porque quando ). Por causa dessa simetria, usar coordenadas cilíndricas costuma ser a maneira mais simples. - Coordenadas cilíndricas:
. Aqui é a distância radial no plano e é o ângulo polar. - Jacobiano: ao trocar de
para , o elemento de volume transforma-se em . Explicação curta do porquê: em coordenadas cilíndricas um retângulo infinitesimal em tem área aproximada , daí o fator .
Passo 3
Determinação dos limites de integração.
- Projeção de
no plano : disco unitário . Em coordenadas cilíndricas isso é e . - Para cada
fixos, varia entre o plano inferior e a semiesfera superior: (pegou-se da projeção).
Portanto os limites são
Passo 4
Escrita da integral em coordenadas cilíndricas.
- A integranda é
, e o elemento de volume é . Logo
Passo 5
Cálculo da integral interna em
.
- Calcular
. Como é constante em relação a , tem-se
- Simplificando a expressão:
Passo 6
Cálculo da integral em
.
- Agora integrar em
:
Passo 7
Cálculo da integral em
e conclusão.
- A integral em
é simplesmente multiplicar por :
Portanto