Exercício 7. (D.K. ex. 11.9) Suponha que f e g pertençam a C(R) e que f tenha suporte compacto. Mostre que Tf * Tg=Tf * g, ou seja, a convolução de duas funções no sentido de distribuições coincide com a convolução de duas funções no sentido usual de convolução de funções.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas f,gin C( R) com supp,f compacto, vale
Tf * Tg ;=; T,f*g,
ou seja, a convolução no sentido de distribuições coincide com a convolução usual de funções. Vamos usar a definição de distribuição associada a função contínua e a definição de convolução de distribuições quando uma delas tem suporte compacto.

Passo 2

Por definição, a distribuição Tf associada a f age em qualquer função teste varphiin Cc^infty( R) como
lang<= Tf,varphirang<= = integral R f(x),varphi(x),dx,
e de modo análogo
lang<= Tg,varphirang<= = integral R g(y),varphi(y),dy

Passo 3

Quando uma das distribuições (aqui Tf) tem suporte compacto, a convolução Tf*Tg é a distribuição definida por
lang<= Tf * Tg,,varphirang<= = llang<= Tf(x),;lang<= Tg(y),,varphi(x+y)rang<=rrang<=

Passo 4

Calculamos primeiro
lang<= Tg(y),,varphi(x+y)rang<= = integral R g(y),varphi(x+y),dy
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lang<= Tf * Tg,,varphirang<= = integral R f(x),gl[integral R g(y),varphi(x+y),dygr]dx = integral R!!integral R f(x),g(y),varphi(x+y),dy,dx

Passo 5

Como f tem suporte compacto, o produto f(x),g(y),varphi(x+y) é contínuo e de suporte compacto em (x,y). Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração:
integral R!!integral R f(x),g(y),varphi(x+y),dy,dx = integral R!!integral R f(x),g(y),varphi(x+y),dx,dy

Passo 6

Fazendo a mudança de variável
t = x + y, dt = dy (para cada (x) fixo),
temos
integral R!!integral R f(x),g(y),varphi(x+y),dx,dy = integral R!!integral R f(x),g(t - x),varphi(t),dx,dt
O interior
integral R f(x),g(t - x),dx
é justamente a convolução usual (f*g)(t).

Passo 7

Portanto
lang<= Tf * Tg,,varphirang<= = integral R (f*g)(t),varphi(t),dt = lang<= T,f*g,,varphirang<=
para toda varphi. Isso implica
Tf * Tg = T,f*g

Resposta

Tf * Tg = T,f*g.

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