Exercício 7. (D.K. ex. 11.9) Suponha que
e
pertençam a
e que
tenha suporte compacto. Mostre que
, ou seja, a convolução de duas funções no sentido de distribuições coincide com a convolução de duas funções no sentido usual de convolução de funções.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas
com
compacto, vale
ou seja, a convolução no sentido de distribuições coincide com a convolução usual de funções. Vamos usar a definição de distribuição associada a função contínua e a definição de convolução de distribuições quando uma delas tem suporte compacto.
Passo 2
Por definição, a distribuição
associada a
age em qualquer função teste
como
e de modo análogo
Passo 3
Quando uma das distribuições (aqui
) tem suporte compacto, a convolução
é a distribuição definida por
Passo 4
Calculamos primeiro
Logo
Passo 5
Como
tem suporte compacto, o produto
é contínuo e de suporte compacto em
. Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração:
Passo 6
Fazendo a mudança de variável
temos
O interior
é justamente a convolução usual
.
Passo 7
Portanto
para toda
. Isso implica