A intensidade da luz em um ponto ( x, y ) de uma superfície é dada por I(x, y), medida em lúmens por metro quadrado. Um sensor se move sobre a superfície de modo que sua posição após t segundos é dada por x=3 t^{2}+1, y=\sin (t). Sabendo que I_{x}(28,0)=5 e I_{y}(28,0)=-2, determine a taxa de variação da intensidade da luz medida pelo sensor no instante t=3 segundos.

Passo 1

O enunciado dá uma intensidade de luz I(x,y) sobre a superfície e um sensor cuja trajetória é
x(t)=3t^{2}+1,\quad y(t)=\sin(t).
Pede-se a taxa de variação \frac{d}{dt}I\bigl(x(t),y(t)\bigr) no instante t=3. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Escrevemos a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}I\bigl(x(t),y(t)\bigr) =I_x\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\frac{dx}{dt} +I_y\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Calculamos as derivadas das coordenadas:
\frac{dx}{dt}=6t, \qquad \frac{dy}{dt}=\cos(t).

Passo 4

No instante t=3 temos
x(3)=3\cdot3^{2}+1=28, \quad y(3)=\sin(3).
O enunciado fornece
I_x(28,0)=5, \quad I_y(28,0)=-2.
(admitimos que avaliamos as derivadas parciais nesse ponto). Além disso
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=3}=6\cdot3=18, \quad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=3}=\cos(3).

Passo 5

Substituindo em
\frac{dI}{dt} =I_x\,\frac{dx}{dt}+I_y\,\frac{dy}{dt}
obtemos em t=3:
\frac{dI}{dt}\Big|_{t=3} =5\cdot18+(-2)\cdot\cos(3) =90-2\cos(3).

Resposta

A taxa de variação da intensidade no instante t=3 é
\frac{dI}{dt}\Big|_{t=3}=90-2\cos(3)
(em lúmens por metro quadrado por segundo).

Exercícios relacionados