Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória extraída de uma população X. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando X tem distribuição:
Geomtrica (\theta).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} de uma população X e pede para encontrar estimador(es) pelo método dos momentos quando X tem distribuição Geométrica com parâmetro \theta. \n
Informações relevantes fornecidas:
X_{1},\ldots,X_{n}\\ \text{são iid (independentes e identicamente distribuídas).}ãí
\theta\in(0,1)\\ \text{é o parâmetro desconhecido a ser estimado.}éâ
Pergunta clara: usar o método dos momentos para obter um estimador de \theta. \n
Observação importante (não resolver ainda): há duas parametrizações comuns da geométrica — uma com suporte \{1,2,\dots\} e outra com suporte \{0,1,2,\dots\}. Vou deduzir o estimador em ambas as parametrizações porque o enunciado não especificou qual usar. Em cada caso vou indicar a função massa de probabilidade e a média populacional necessária para aplicar o método dos momentos.

Passo 2

O que é o método dos momentos (explicação didática e simples)? \n
  • Ideia: igualar momentos amostrais aos momentos populacionais teóricos e resolver para o parâmetro. \n
  • Primeiro momento amostral (método dos momentos de ordem 1): a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,
é uma estimativa natural da esperança populacional E[X]. Pelo método dos momentos, colocamos
\overline{X} \approx E[X].
  • Em seguida, isolamos \theta em E[X] para obter o estimador de \theta substituindo E[X] por \overline{X}. \n
    Agora vamos calcular E[X] nas duas parametrizações e aplicar essa regra.

Passo 3

Parametrização A (suporte \{1,2,\dots\}, versão “número de tentativas até o primeiro sucesso”): \n
  • Função massa de probabilidade:
P(X=k)=(1-\theta)^{k-1}\theta,\qquad k=1,2,\dots
  • Calcular E[X]: usamos a soma conhecida \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}=\dfrac{1}{(1-r)^2} para |r|<1. Tomando r=1-\theta (como |1-\theta|<1 porque \theta\in(0,1)),
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-\theta)^{k-1}\theta =\theta\sum_{k=1}^{\infty} k(1-\theta)^{k-1} =\theta\cdot \frac{1}{\bigl(1-(1-\theta)\bigr)^2} =\theta\cdot\frac{1}{\theta^2} =\frac{1}{\theta}.
  • Aplicando o método dos momentos: igualamos \overline{X}=E[X]=1/\theta e resolvemos para \theta:
\overline{X}=\frac{1}{\hat{\theta}_{MM}}\quad\Longrightarrow\quad \hat{\theta}_{MM}=\frac{1}{\overline{X}}.
  • Interpretação e propriedades rápidas: \hat{\theta}_{MM}=\dfrac{1}{\overline{X}} está bem definida quando \overline{X}>0 (ocorre com probabilidade 1 aqui). Pelo Teorema dos Grandes Números \overline{X}\to E[X]=1/\theta em probabilidade, logo \hat{\theta}_{MM}\to\theta (consistente). Pode ser viesado, mas é simples e comum.

Passo 4

Parametrização B (suporte \{0,1,2,\dots\}, versão “número de falhas antes do primeiro sucesso”): \n
  • Função massa de probabilidade:
P(X=k)=(1-\theta)^{k}\theta,\qquad k=0,1,2,\dots
  • Calcular E[X]: usamos a soma \sum_{k=0}^{\infty} k r^{k}=\dfrac{r}{(1-r)^2} para |r|<1. Com r=1-\theta,
E[X]=\sum_{k=0}^{\infty} k(1-\theta)^{k}\theta =\theta\cdot\frac{1-\theta}{\theta^2} =\frac{1-\theta}{\theta}.
(mais explicitamente: \theta\cdot \dfrac{1-\theta}{(1-(1-\theta))^2}=\theta\cdot\dfrac{1-\theta}{\theta^2}=(1-\theta)/\theta). \n
  • Aplicando o método dos momentos: igualamos \overline{X}=E[X]=(1-\theta)/\theta e resolvemos para \theta:
\overline{X}=\frac{1-\hat{\theta}_{MM}}{\hat{\theta}_{MM}} \quad\Longrightarrow\quad \overline{X}\hat{\theta}_{MM}=1-\hat{\theta}_{MM} \quad\Longrightarrow\quad \hat{\theta}_{MM}(\overline{X}+1)=1
\Longrightarrow\quad \hat{\theta}_{MM}=\frac{1}{\overline{X}+1}.
  • Interpretação: aqui também \hat{\theta}_{MM} é consistente por razão análoga (pelo grande número \overline{X}\to E[X]).

Passo 5

Resumo conceitual e como escolher na prova: \n
  • Se o enunciado definir a geométrica como “número de tentativas até o primeiro sucesso” (suporte \{1,2,\dots\} e P(X=k)=(1-\theta)^{k-1}\theta), use
\hat{\theta}_{MM}=\frac{1}{\overline{X}}.
  • Se o enunciado definir a geométrica como “número de falhas antes do primeiro sucesso” (suporte \{0,1,2,\dots\} e P(X=k)=(1-\theta)^{k}\theta), use
\hat{\theta}_{MM}=\frac{1}{\overline{X}+1}.
Dica prática para a prova: leia com atenção qual é o suporte/definição da geométrica no enunciado; isso decide qual fórmula da média usar e, portanto, qual estimador obter.

Resposta

Se \,X\in\{1,2,\dots\} com P(X=k)=(1-\theta)^{k-1}\theta:\\ \hat{\theta}_{MM}=\dfrac{1}{\overline{X}}.
Se \,X\in\{0,1,2,\dots\} com P(X=k)=(1-\theta)^{k}\theta:\\ \hat{\theta}_{MM}=\dfrac{1}{\overline{X}+1}.

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