Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória extraída de uma população X. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando X tem distribuição:
\operatorname{Gama}(\alpha, \beta).

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dão:
  • Temos uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma população com distribuição \operatorname{Gama}(\alpha,\beta).
  • Os parâmetros desconhecidos são \alpha e \beta.
  • A tarefa: encontrar estimador(es) de \alpha e \beta usando o método dos momentos.
  • Informações úteis que já estão no enunciado (implícitas): há dois parâmetros, então usaremos as duas primeiras equações de momentos (dois momentos teóricos iguais a dois momentos amostrais).

Passo 2

O que é o método dos momentos (explicação didática, passo a passo):
  • A ideia do método dos momentos é simples: igualar momentos teóricos (funções de \alpha,\beta) a momentos amostrais (calculados a partir dos dados) e resolver para os parâmetros.
  • Primeiro momento teórico (= esperança): é E(X). Segundo momento central teórico (= variância): é \operatorname{Var}(X). Podemos usar esses dois momentos porque temos dois parâmetros.
  • Definimos os momentos amostrais que vamos utilizar: \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_ique é o primeiro momento amostral (média amostral), e S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2que é a segunda momento central amostral (variância amostral com denominador n; o método dos momentos usa momentos com denominador n, não o estimador insesgado com denominador n-1).
  • Vou explicar por que usar \bar X e S_n^2: o método dos momentos pede escolher momentos até igualar o número de parâmetros. A escolha média e variância é natural e leva a equações fáceis de resolver.

Passo 3

Momentos teóricos da distribuição Gama (parâmetros \alpha,\beta; aqui \beta é a escala):
  • Para a parametrização usual com \alpha = forma e \beta = escala, os momentos são conhecidos: E(X)=\alpha\betae \operatorname{Var}(X)=\alpha\beta^{2}.
  • Vou explicar o que significam: E(X) é a média verdadeira da população; \operatorname{Var}(X) é a variância verdadeira. Ambas dependem de \alpha e \beta.

Passo 4

Igualando momentos teóricos aos amostrais (aplicando o método dos momentos):
  • Igualamos a média amostral à esperança teórica: \bar{X} = \alpha\beta.
  • Igualamos a variância amostral (com denominador n) à variância teórica: S_n^2 = \alpha\beta^2.
  • Agora temos um sistema de duas equações em \alpha e \beta.

Passo 5

Resolver o sistema para encontrar os estimadores:
  • A partir de \bar{X} = \alpha\betae S_n^2 = \alpha\beta^2,podemos dividir a segunda equação pela primeira (para eliminar \alpha): \frac{S_n^2}{\bar{X}} = \frac{\alpha\beta^2}{\alpha\beta} = \beta.Portanto obtemos o estimador de \beta: \hat{\beta}_{\text{MM}}=\frac{S_n^2}{\bar{X}}.
  • Substituindo \hat{\beta}_{\text{MM}} na primeira equação para obter \alpha: \hat{\alpha}_{\text{MM}}=\frac{\bar{X}}{\hat{\beta}_{\text{MM}}} =\frac{\bar{X}}{S_n^2/\bar{X}} =\frac{\bar{X}^2}{S_n^2}.

Passo 6

Interpretação, comentários e um exemplo numérico rápido (pra fixar):
  • Interpretação: \hat{\beta}_{\text{MM}} é a razão entre a variância amostral (com n) e a média amostral; \hat{\alpha}_{\text{MM}} é o quadrado da média dividido por essa variância. Faz sentido: se a variância é pequena em relação à média, \alpha tende a ser grande (distribuição mais concentrada).
  • Propriedades intuitivas: por Lei dos Grandes Números, \bar X \to E(X) e S_n^2 \to \operatorname{Var}(X), então \hat{\alpha}_{\text{MM}} e \hat{\beta}_{\text{MM}} são consistentes (convergem aos verdadeiros \alpha,\beta).
  • Exemplo numérico curtinho: para os dados 2,3,4,5 temos \bar X=3,5 e S_n^2=\frac{(2-3,5)^2+(3-3,5)^2+(4-3,5)^2+(5-3,5)^2}{4}=\frac{5}{4}=1,25.Assim \hat{\beta}_{\text{MM}}=\frac{1,25}{3,5}\approx0,3571,\qquad \hat{\alpha}_{\text{MM}}=\frac{3,5^2}{1,25}= \frac{12,25}{1,25}=9,8.(Só um exemplo para ver os números; na prova você deixaria as fórmulas gerais.)

Resposta

\displaystyle \hat{\alpha}_{\text{MM}}=\frac{\bar{X}^{2}}{S_{n}^{2}}
\displaystyle \hat{\beta}_{\text{MM}}=\frac{S_{n}^{2}}{\bar{X}}

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