Sejam
uma amostra aleatória extraída de uma população
. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando
tem distribuição:
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dão:
- Temos uma amostra aleatória
de uma população com distribuição . - Os parâmetros desconhecidos são
e . - A tarefa: encontrar estimador(es) de
e usando o método dos momentos. - Informações úteis que já estão no enunciado (implícitas): há dois parâmetros, então usaremos as duas primeiras equações de momentos (dois momentos teóricos iguais a dois momentos amostrais).
Passo 2
O que é o método dos momentos (explicação didática, passo a passo):
- A ideia do método dos momentos é simples: igualar momentos teóricos (funções de
) a momentos amostrais (calculados a partir dos dados) e resolver para os parâmetros. - Primeiro momento teórico (= esperança): é
. Segundo momento central teórico (= variância): é . Podemos usar esses dois momentos porque temos dois parâmetros. - Definimos os momentos amostrais que vamos utilizar:
que é o primeiro momento amostral (média amostral), e que é a segunda momento central amostral (variância amostral com denominador ; o método dos momentos usa momentos com denominador , não o estimador insesgado com denominador ). - Vou explicar por que usar
e : o método dos momentos pede escolher momentos até igualar o número de parâmetros. A escolha média e variância é natural e leva a equações fáceis de resolver.
Passo 3
Momentos teóricos da distribuição Gama (parâmetros
; aqui
é a escala):
- Para a parametrização usual com
= forma e = escala, os momentos são conhecidos: e - Vou explicar o que significam:
é a média verdadeira da população; é a variância verdadeira. Ambas dependem de e .
Passo 4
Igualando momentos teóricos aos amostrais (aplicando o método dos momentos):
- Igualamos a média amostral à esperança teórica:
- Igualamos a variância amostral (com denominador
) à variância teórica: - Agora temos um sistema de duas equações em
e .
Passo 5
Resolver o sistema para encontrar os estimadores:
- A partir de
e podemos dividir a segunda equação pela primeira (para eliminar ): Portanto obtemos o estimador de : - Substituindo
na primeira equação para obter :
Passo 6
Interpretação, comentários e um exemplo numérico rápido (pra fixar):
- Interpretação:
é a razão entre a variância amostral (com ) e a média amostral; é o quadrado da média dividido por essa variância. Faz sentido: se a variância é pequena em relação à média, tende a ser grande (distribuição mais concentrada). - Propriedades intuitivas: por Lei dos Grandes Números,
e , então e são consistentes (convergem aos verdadeiros ). - Exemplo numérico curtinho: para os dados
temos e Assim (Só um exemplo para ver os números; na prova você deixaria as fórmulas gerais.)