Sejam
independentes com
, para
. Considere combinações lineares
, onde
, para todo
e
. Usando multiplicadores de Lagrange, prove que Var
é minimizada escolhendo-se
para
.
Passo 1
O enunciado dá variáveis aleatórias
independentes com
e pede que a combinação linear
minimize
sob as restrições
e
. O conteúdo usado será o cálculo de variância de combinação linear e o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Como as
são independentes,
Queremos minimizar
sujeito à restrição
Passo 3
Montamos o Lagrangiano
Passo 4
Impondo as condições de estacionariedade
para cada
, obtemos
Passo 5
Usando a restrição
, somamos
Substituindo em
resulta
para
.
Passo 6
Para verificar que este ponto é mínimo, notamos que a matriz Hessiana de
é diagonal com entradas
, ou seja, positiva definida, garantindo mínimo global.