Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} independentes com \operatorname{Var}\left[X_{j}\right]=\sigma_{j}^{2}, para j=1, \ldots, n. Considere combinações lineares Y=p_{1} X_{1}+\cdots+p_{n} X_{n}, onde p_{j} \geq 0, para todo j=1, \ldots, n e p_{1}+\cdots+p_{n}=1. Usando multiplicadores de Lagrange, prove que Var Y é minimizada escolhendo-se
p_{j}=\frac{\sigma_{j}^{-2}}{\sum_{i=1}^{n} \sigma_{i}^{-2}},
para j=1, \ldots, n.

Passo 1

O enunciado dá variáveis aleatórias X_{1},\dots,X_{n} independentes com \operatorname{Var}[X_{j}]=\sigma_{j}^{2} e pede que a combinação linear
Y = p_{1}X_{1} + \cdots + p_{n}X_{n}
minimize \operatorname{Var}[Y] sob as restrições p_{j}\ge 0 e p_{1}+\cdots+p_{n}=1. O conteúdo usado será o cálculo de variância de combinação linear e o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Como as X_{j} são independentes,
\operatorname{Var}[Y] =\operatorname{Var}\Bigl(\sum_{j=1}^{n}p_{j}X_{j}\Bigr) =\sum_{j=1}^{n}p_{j}^{2}\,\sigma_{j}^{2}.
Queremos minimizar
f(p_{1},\dots,p_{n}) \;=\;\sum_{j=1}^{n} \sigma_{j}^{2}\,p_{j}^{2}
sujeito à restrição
g(p_{1},\dots,p_{n}) \;=\;\sum_{j=1}^{n}p_{j}-1 = 0.

Passo 3

Montamos o Lagrangiano
\mathcal{L}(p_{1},\dots,p_{n},\lambda) = \sum_{j=1}^{n}\sigma_{j}^{2}\,p_{j}^{2} \;-\;\lambda\Bigl(\sum_{j=1}^{n}p_{j}-1\Bigr).

Passo 4

Impondo as condições de estacionariedade \partial \mathcal{L}/\partial p_{j}=0 para cada j, obtemos
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial p_{j}} = 2\,\sigma_{j}^{2}\,p_{j} \;-\;\lambda =0 \quad\Longrightarrow\quad p_{j} = \frac{\lambda}{2\,\sigma_{j}^{2}}.

Passo 5

Usando a restrição \sum_{j=1}^{n}p_{j}=1, somamos
\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda}{2\,\sigma_{j}^{2}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2}{\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{-2}}.
Substituindo em p_{j}=\lambda/(2\,\sigma_{j}^{2}) resulta
p_{j} = \frac{1}{\sigma_{j}^{2}}\;\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{-2}} = \frac{\sigma_{j}^{-2}}{\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{-2}},
para j=1,\dots,n.

Passo 6

Para verificar que este ponto é mínimo, notamos que a matriz Hessiana de f é diagonal com entradas 2\,\sigma_{j}^{2}>0, ou seja, positiva definida, garantindo mínimo global.

Resposta

p_{j} = \frac{\sigma_{j}^{-2}}{\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{-2}}, \quad j=1,\dots,n.

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