Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição comum uniforme no intervalo (0,1) e sejam X_{(1)} e X_{(2)} as estatísticas de ordem. Obtenha
(a) a matriz de covariância do vetor aleatório \left(X_{(1)}, X_{(2)}\right);
(b) o coeficiente de correlação entre X_{(1)} e X_{(2)};
(c) o melhor preditor linear de X_{(2)} dado X_{(1)}.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e uniformes em (0,1). Definimos
X_{(1)} = \min(X,Y), \quad X_{(2)} = \max(X,Y).
Precisamos encontrar
(a) a matriz de covariância de (X_{(1)},X_{(2)});
(b) o coeficiente de correlação \rho entre X_{(1)} e X_{(2)};
(c) o melhor preditor linear de X_{(2)} dado X_{(1)}.
O conteúdo chave é teoria de estatísticas de ordem para amostra de tamanho n=2, cálculo de momentos marginais e conjuntos, e regressão linear.

Passo 2

Primeiro achamos as distribuições marginais de X_{(1)} e X_{(2)}. É conhecido que, para duas variáveis uniformes independentes,
f_{X_{(1)}}(x)=2\bigl(1-x\bigr),\quad 0<x<1,
f_{X_{(2)}}(x)=2x,\quad 0<x<1.
Usamos essas densidades para calcular médias e variâncias:
E[X_{(1)}] = \int_{0}^{1} x\cdot 2(1-x)\,dx = 2\int_{0}^{1}(x - x^2)\,dx =2\Bigl(\tfrac12 - \tfrac13\Bigr) =\tfrac13,
E[X_{(1)}^2] = \int_{0}^{1} x^2\cdot 2(1-x)\,dx =2\Bigl(\tfrac13 - \tfrac14\Bigr) =\tfrac16,
\Var(X_{(1)}) =E[X_{(1)}^2] - \bigl(E[X_{(1)}]\bigr)^2 =\tfrac16 - \bigl(\tfrac13\bigr)^2 =\tfrac16 - \tfrac19 =\tfrac{1}{18}.
De modo análogo para X_{(2)}:
E[X_{(2)}] = \int_{0}^{1} x\cdot 2x\,dx =2\int_{0}^{1}x^2\,dx =2\cdot\tfrac13 =\tfrac23,
E[X_{(2)}^2] = \int_{0}^{1} x^2\cdot 2x\,dx =2\int_{0}^{1}x^3\,dx =2\cdot\tfrac14 =\tfrac12,
\Var(X_{(2)}) =\tfrac12 - \bigl(\tfrac23\bigr)^2 =\tfrac12 - \tfrac49 =\tfrac{1}{18}.

Passo 3

Agora a covariância. A densidade conjunta de (X_{(1)},X_{(2)}) é
f_{X_{(1)},X_{(2)}}(u,v) =2, \quad 0<u<v<1.
Calculamos
E[X_{(1)}X_{(2)}] =\int_{u=0}^{1}\int_{v=u}^{1} uv\cdot2\,dv\,du =2\int_{0}^{1}u\Bigl[\tfrac{v^2}{2}\Bigr]_{v=u}^{v=1}du =\int_{0}^{1}u(1 - u^2)\,du =\tfrac12 - \tfrac14 =\tfrac14.
Logo
\Cov\bigl(X_{(1)},X_{(2)}\bigr) =E[X_{(1)}X_{(2)}] - E[X_{(1)}]\,E[X_{(2)}] =\tfrac14 - \tfrac13\cdot\tfrac23 =\tfrac14 - \tfrac29 =\tfrac{1}{36}.

Passo 4

A matriz de covariância de \bigl(X_{(1)},X_{(2)}\bigr) é
\begin{pmatrix} \Var(X_{(1)}) & \Cov(X_{(1)},X_{(2)}) \\[6pt] \Cov(X_{(1)},X_{(2)}) & \Var(X_{(2)}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{18} & \tfrac{1}{36} \\[6pt] \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{18} \end{pmatrix}.]

Passo 5

O coeficiente de correlação é
\rho =\frac{\Cov(X_{(1)},X_{(2)})} {\sqrt{\Var(X_{(1)})\,\Var(X_{(2)})}} =\frac{\tfrac{1}{36}} {\sqrt{\tfrac{1}{18}\cdot\tfrac{1}{18}}} =\frac{\tfrac{1}{36}}{\tfrac{1}{18}} =\tfrac12.

Passo 6

O melhor preditor linear de X_{(2)} dado X_{(1)} é
\hat X_{(2)} = E[X_{(2)}] + \frac{\Cov(X_{(1)},X_{(2)})}{\Var(X_{(1)})}\,\bigl(X_{(1)} - E[X_{(1)}]\bigr).
Já temos \displaystyle\frac{\Cov}{\Var}=\frac{\tfrac{1}{36}}{\tfrac{1}{18}}=\tfrac12, E[X_{(2)}]=\tfrac23 e E[X_{(1)}]=\tfrac13. Então
\hat X_{(2)} =\tfrac23 + \tfrac12\Bigl(X_{(1)} - \tfrac13\Bigr) =\tfrac23 - \tfrac16 + \tfrac12 X_{(1)} =\tfrac12 + \tfrac12\,X_{(1)}.

Resposta

(a) A matriz de covariância é
\begin{pmatrix} \tfrac{1}{18} & \tfrac{1}{36} \\[6pt] \tfrac{1}{36} & \tfrac{1}{18} \end{pmatrix}.
(b) O coeficiente de correlação é \tfrac12.
(c) O melhor preditor linear de X_{(2)} dado X_{(1)} é
\hat X_{(2)} = \tfrac12 + \tfrac12\,X_{(1)}.]

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