Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição comum uniforme no intervalo (0,1) e sejam X_{(1)} e X_{(2)} as estatísticas de ordem. Obtenha
(a) a matriz de covariância do vetor aleatório \left(X_{(1)}, X_{(2)}\right);
(b) o coeficiente de correlação entre X_{(1)} e X_{(2)};
(c) o melhor preditor linear de X_{(2)} dado X_{(1)}.
Passo 1
O enunciado diz que X e Y são independentes e uniformes em (0,1). Definimos
X_{(1)} = \min(X,Y), \quad X_{(2)} = \max(X,Y).
Precisamos encontrar
(a) a matriz de covariância de (X_{(1)},X_{(2)});
(b) o coeficiente de correlação \rho entre X_{(1)} e X_{(2)};
(c) o melhor preditor linear de X_{(2)} dado X_{(1)}.
O conteúdo chave é teoria de estatísticas de ordem para amostra de tamanho n=2, cálculo de momentos marginais e conjuntos, e regressão linear.
Passo 2
Primeiro achamos as distribuições marginais de X_{(1)} e X_{(2)}. É conhecido que, para duas variáveis uniformes independentes,
f_{X_{(1)}}(x)=2\bigl(1-x\bigr),\quad 0<x<1,
f_{X_{(2)}}(x)=2x,\quad 0<x<1.
Usamos essas densidades para calcular médias e variâncias: