(Variância do produto) Sejam X e Y independentes com segundos momentos finitos. Sejam \mathrm{E}[X]=\mu_{X}, \mathrm{E}[Y]=\mu_{Y}, \operatorname{Var}[X]=\sigma_{X}^{2} e \operatorname{Var}[Y]=\sigma_{Y}^{2}. Mostre que
\operatorname{Var}[X Y]=\sigma_{X}^{2} \sigma_{Y}^{2}+\mu_{Y}^{2} \sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2} \sigma_{Y}^{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá duas variáveis aleatórias X e Y independentes, com \mathrm{E}[X]=\mu_{X}, \mathrm{E}[Y]=\mu_{Y}, \operatorname{Var}[X]=\sigma_{X}^{2} e \operatorname{Var}[Y]=\sigma_{Y}^{2}. Queremos calcular
\operatorname{Var}[X Y].
Para isso vamos usar a definição
\operatorname{Var}[Z]=\mathrm{E}[Z^{2}]-\bigl(\mathrm{E}[Z]\bigr)^{2}
e o fato de que, por independência, \mathrm{E}[X\,Y]=\mathrm{E}[X]\,\mathrm{E}[Y] e \mathrm{E}[X^{2}Y^{2}]=\mathrm{E}[X^{2}]\,\mathrm{E}[Y^{2}].

Passo 2

Aplicando a definição de variância para Z=XY, temos
\operatorname{Var}[XY] =\mathrm{E}\bigl[(XY)^{2}\bigr]-\bigl(\mathrm{E}[XY]\bigr)^{2}.
Pela independência,
\mathrm{E}\bigl[(XY)^{2}\bigr] =\mathrm{E}[X^{2}Y^{2}] =\mathrm{E}[X^{2}]\,\mathrm{E}[Y^{2}],
\mathrm{E}[XY] =\mathrm{E}[X]\,\mathrm{E}[Y] =\mu_{X}\,\mu_{Y}.
Logo
\operatorname{Var}[XY] =\mathrm{E}[X^{2}]\,\mathrm{E}[Y^{2}] -\bigl(\mu_{X}\,\mu_{Y}\bigr)^{2}.

Passo 3

Agora usamos que o segundo momento se escreve em termos da variância e da média:
\mathrm{E}[X^{2}]=\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2}, \qquad \mathrm{E}[Y^{2}]=\sigma_{Y}^{2}+\mu_{Y}^{2}.
Substituindo em \mathrm{E}[X^{2}]\,\mathrm{E}[Y^{2}], temos
\mathrm{E}[X^{2}]\,\mathrm{E}[Y^{2}] =(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})(\sigma_{Y}^{2}+\mu_{Y}^{2}).
Portanto
\operatorname{Var}[XY] =(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})(\sigma_{Y}^{2}+\mu_{Y}^{2}) -(\mu_{X}\,\mu_{Y})^{2}.

Passo 4

Basta expandir o produto e cancelar o termo \mu_{X}^{2}\mu_{Y}^{2}:
(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})(\sigma_{Y}^{2}+\mu_{Y}^{2}) =\sigma_{X}^{2}\sigma_{Y}^{2} +\mu_{X}^{2}\sigma_{Y}^{2} +\sigma_{X}^{2}\mu_{Y}^{2} +\mu_{X}^{2}\mu_{Y}^{2},
logo
\operatorname{Var}[XY] =\bigl[\sigma_{X}^{2}\sigma_{Y}^{2} +\mu_{X}^{2}\sigma_{Y}^{2} +\sigma_{X}^{2}\mu_{Y}^{2} +\mu_{X}^{2}\mu_{Y}^{2}\bigr] -\mu_{X}^{2}\mu_{Y}^{2}
=\sigma_{X}^{2}\sigma_{Y}^{2} +\mu_{X}^{2}\sigma_{Y}^{2} +\sigma_{X}^{2}\mu_{Y}^{2}.

Resposta

\operatorname{Var}[XY] =\sigma_{X}^{2}\,\sigma_{Y}^{2} +\mu_{Y}^{2}\,\sigma_{X}^{2} +\mu_{X}^{2}\,\sigma_{Y}^{2}.

Exercícios relacionados