(Variância do produto) Sejam
e
independentes com segundos momentos finitos. Sejam
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá duas variáveis aleatórias
e
independentes, com
,
,
e
. Queremos calcular
Para isso vamos usar a definição
e o fato de que, por independência,
e
.
Passo 2
Aplicando a definição de variância para
, temos
Pela independência,
Logo
Passo 3
Agora usamos que o segundo momento se escreve em termos da variância e da média:
Substituindo em
, temos
Portanto
Passo 4
Basta expandir o produto e cancelar o termo
:
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