Sejam X, Y e Z independentes com distribuição comum uniforme no intervalo (0,1). Calcule a esperança e a variância de W=(X+Y) Z.

Passo 1

O enunciado nos dá três variáveis aleatórias X, Y e Z independentes, cada uma com distribuição uniforme em (0,1). Definimos
W = (X + Y)\,Z
e queremos calcular a esperança \mathbb{E}[W] e a variância \mathrm{Var}(W). Para isso, vamos usar linearidade da esperança, independência e momentos conhecidos da distribuição uniforme.

Passo 2

Para a esperança, note que pela independência de X+Y e Z vale
\mathbb{E}[W] = \mathbb{E}\bigl[(X+Y)\,Z\bigr] = \mathbb{E}[X+Y]\;\mathbb{E}[Z].
Como cada variável uniforme em (0,1) tem \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[Z]=\tfrac12, temos
\mathbb{E}[X+Y]=\tfrac12+\tfrac12=1 \quad\Longrightarrow\quad \mathbb{E}[W]=1\cdot\tfrac12=\tfrac12.

Passo 3

Para a variância usaremos
\mathrm{Var}(W)=\mathbb{E}[W^2]-\bigl(\mathbb{E}[W]\bigr)^2 \quad\text{e}\quad W^2=(X+Y)^2 Z^2.
Pela independência,
\mathbb{E}[W^2] = \mathbb{E}\bigl[(X+Y)^2\bigr]\;\mathbb{E}\bigl[Z^2\bigr].
Sabemos que para Z\sim U(0,1) vale \mathbb{E}[Z^2]=\tfrac13. Para \mathbb{E}[(X+Y)^2] temos
\mathbb{E}[(X+Y)^2] = \mathrm{Var}(X+Y)+\bigl(\mathbb{E}[X+Y]\bigr)^2 = \Bigl(\tfrac1{12}+\tfrac1{12}\Bigr)+1^2 = \tfrac16+1 = \tfrac76.

Passo 4

Substituindo,
\mathbb{E}[W^2] = \tfrac76\cdot\tfrac13 = \tfrac7{18},
e como \mathbb{E}[W]=\tfrac12,
\mathrm{Var}(W) = \tfrac7{18} - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 = \tfrac7{18} - \tfrac14 = \tfrac{14-9}{36} = \tfrac5{36}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}[W] = \tfrac12,\quad \mathrm{Var}(W) = \tfrac5{36}.

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