Em cada item a seguir escrevemos abreviadamente
. Verificar se o conjunto dado pode ser o gráfico de uma função
. Em caso afirmativo, explicitá-la:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
G = {(x,y) ∈ ℝ² ∣ x² − 2x + y² − 4y = −4}
pode ser o gráfico de uma função y = f(x). O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas no plano (funções implícitas) e uso do teste da reta vertical.
G = {(x,y) ∈ ℝ² ∣ x² − 2x + y² − 4y = −4}
pode ser o gráfico de uma função y = f(x). O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas no plano (funções implícitas) e uso do teste da reta vertical.
Passo 2
Vamos completar quadrados em x e y para ver que curva é essa. Para x² − 2x, escrevemos (x − 1)² − 1. Para y² − 4y, escrevemos (y − 2)² − 4. Então a equação fica:
Reagrupando termos constantes:
Passo 3
Somamos 1+4 em ambos os lados e simplificamos:
Isto descreve um círculo de centro (1,2) e raio 1.
Passo 4
Para ser gráfico de uma função y=f(x), cada abscissa x deve corresponder a exatamente uma ordenada y. Mas num círculo, para qualquer x com |x−1|<1 há duas possíveis y:
ou seja y = 2 ± \sqrt{1 − (x−1)²}.
Passo 5
Como há dois valores de y para cada x no intervalo (0,2), o conjunto G não passa no teste da reta vertical. Portanto, G não é o gráfico de uma única função y=f(x).
Resposta
O conjunto G não é o gráfico de função, pois para muitos valores de x há dois valores distintos de y.