Sejam
e
funções limitadas.
Mostre que
, em que o produto de conjuntos é a dada pelo exercício anterior.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dadas funções limitadas f,g: X → ℝ, o conjunto imagem da função produto ponto a ponto (f·g)(X) está contido no produto de conjuntos f(X)·g(X). O conteúdo envolve definição de imagem de funções e produto de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir claramente: f(X)={f(x):x∈X}, g(X)={g(x):x∈X}. A imagem do produto ponto a ponto é (f·g)(X)={(f·g)(x):x∈X}={f(x)g(x):x∈X}. E o produto de conjuntos, segundo o exercício anterior, é f(X)·g(X)={a·b:a∈f(X),b∈g(X)}.
Passo 3
Agora, pegamos um elemento arbitrário t∈(f·g)(X). Por definição de imagem, existe algum x∈X tal que t=(f·g)(x). Mas (f·g)(x)=f(x)g(x). Logo t=f(x)g(x).
Passo 4
Como f(x)∈f(X) e g(x)∈g(X), vemos que t=f(x)g(x)∈f(X)·g(X). Como t foi arbitrário, concluímos que (f·g)(X)⊆f(X)·g(X).