Sejam
uma V.A. discreta tal que
e sua função de probabilidade é
. Verifique que
é realmente uma função de probabilidade. Calcule sua esperança e variância via f.g.m.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
- A variável aleatória
é discreta com suporte . - A função de probabilidade é
- O enunciado pede duas coisas:
- Verificar que
é realmente uma função de probabilidade (isto é: checar não-negatividade e que a soma das probabilidades é ). - Calcular a esperança e a variância de
usando a função geradora de momentos (f.g.m.), isto é a função .
- Verificar que
Passo 2
Checar não-negatividade:
- Para todo
tem-se , e . - Portanto cada termo
Isto mostra que
é não-negativa para todo
do suporte.
Passo 3
Checar que as probabilidades somam
:
- Calcular a soma sobre todo o suporte:
- Reconhecemos a série de Taylor da função exponencial:
- Substituindo:
Conclusão: a função é não-negativa e soma
, logo é uma função de probabilidade válida.
Passo 4
Definição e ideia da f.g.m. (função geradora de momentos):
- A função geradora de momentos de
é definida por
- Importante: derivando
e avaliando em obtemos momentos: - A esperança é
. - O segundo momento é
. - A variância é
.
- A esperança é
- Vamos então calcular
explicitamente para a distribuição dada.
Passo 5
Calcular a f.g.m. para a Poisson:
Usando novamente a série exponencial,
Portanto
Observação: esta expressão é finita para todo
, logo a f.g.m. existe globalmente.
Passo 6
Calcular a esperança usando
:
- Primeiro derivamos
. Como , pela regra da cadeia:
- Avaliando em
:
Logo
.
Passo 7
Calcular a variância usando
e
:
- Derivamos
para obter . Partindo de
aplicamos a regra do produto:
- Fatorando
:
- Avaliando em
:
- A variância é
Passo 8
Resumo e interpretação rápida (motivacional):
- Obtivemos que a Poisson tem média
e variância . É uma característica marcante da distribuição de Poisson: média e variância são iguais. Parabéns — você agora tem um cálculo passo a passo que dá pra reproduzir na prova sem mistério!
Resposta
P(X=x) é função de probabilidade (não-negativa e
).