Prove que se X é uma V.A., com densidade f_{X}(x), e Y=g(X), onde g é uma função estritamente monótona, então a função de densidade da variável Y é f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-} 1(y)\right)\left|\frac{d\left(g^{-} 1(y)\right)}{d y}\right|.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que X é uma variável aleatória contínua com densidade f_{X}(x).
  • Dá que Y=g(X), sendo g uma função estritamente monótona (logo injetora e com inversa g^{-1}).
  • Pede para provar que a densidade de Y é
f_{Y}(y)=f_{X}\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}{d y}\right|.
Observações sobre as hipóteses que vamos usar (importante para a prova):
  • Ao usar derivadas de g^{-1} estamos assumindo que g é diferenciável e que g^{-1} também é diferenciável naquele ponto (ou, pelo menos, que a regra da cadeia pode ser aplicada quase em toda parte). A monotonicidade garante inversibilidade; a diferenciabilidade garante que faz sentido falar em \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y).
  • A prova será feita via função de distribuição acumulada (CDF), diferenciando-a para obter a densidade. Alternativamente, podemos fazer por mudança de variável em integrais; vou apresentar ambos os pontos de vista para clarear.

Passo 2

Lembrando definições e ideias que usaremos (passo-a-passo didático):
  • A função de distribuição acumulada de X é
F_X(x)=P(X\le x).
  • Se X tem densidade f_X, então, quando F_X é diferenciável, vale
f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x).
  • Para Y definimos sua CDF por
F_Y(y)=P(Y\le y)=P\bigl(g(X)\le y\bigr).
A ideia é expressar F_Y(y) em termos de F_X usando monotonicidade de g, e depois derivar em y para obter f_Y(y).

Passo 3

Trate separadamente os dois casos de monotonicidade (isso evita erros com desigualdades invertidas).
Caso A — g estritamente crescente:
  • Se g é crescente, a desigualdade g(X)\le y é equivalente a X\le g^{-1}(y). Portanto
F_Y(y)=P\bigl(g(X)\le y\bigr)=P\bigl(X\le g^{-1}(y)\bigr)=F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr).
Caso B — g estritamente decrescente:
  • Se g é decrescente, a desigualdade g(X)\le y é equivalente a X\ge g^{-1}(y). Então
F_Y(y)=P\bigl(g(X)\le y\bigr)=P\bigl(X\ge g^{-1}(y)\bigr)=1-P\bigl(X\le g^{-1}(y)\bigr)=1-F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr).
Essas equivalências vêm só de lógica: monotonicidade permite "aplicar g^{-1}" nas desigualdades mantendo ou invertendo o sentido conforme o caso.

Passo 4

Diferencie F_Y(y) para obter f_Y(y). Aqui usamos a regra da cadeia e a relação f_X=F_X'.
Caso A — g crescente:
  • Como F_Y(y)=F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr), pela regra da cadeia
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr) =F_X'\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}g^{-1}(y).
  • Substituindo F_X' = f_X obtemos
f_Y(y)=f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}g^{-1}(y).
Note que, neste caso, \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) é não negativa (pois inversa de função crescente tem derivada não negativa), então o produto já é não negativo.
Caso B — g decrescente:
  • Aqui F_Y(y)=1-F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr). Diferenciando,
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=-\frac{d}{dy}F_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr) =-F_X'\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}g^{-1}(y).
  • Substituindo F_X' = f_X
f_Y(y)=-f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}g^{-1}(y).
Neste caso \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) é não positiva (derivada da inversa de função decrescente é negativa), então o produto com o sinal negativo torna f_Y(y) não negativo.

Passo 5

Unificando os dois casos com valor absoluto:
  • Nos casos A e B as fórmulas obtidas são, respectivamente,
f_Y(y)=f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \quad\text{ou}\quad f_Y(y)=-f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}g^{-1}(y).
  • Essas duas expressões são equivalentes à expressão única
f_Y(y)=f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|,
porque o módulo prende o sinal adequado em cada caso (derivada da inversa será positiva se g for crescente, negativa se g for decrescente).
Comentário intuitivo: a derivada \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) mede como um pequeno intervalo em y se traduz em comprimento de intervalo em x; multiplicar a densidade em x por esse fator dá a densidade resultante em y. O valor absoluto aparece porque densidades são não negativas e o “alongamento” do intervalo deve ser tomado em módulo.

Passo 6

Derivação alternativa (mudança de variável em integrais) — para consolidar a intuição:
  • Para um conjunto mensurável B\subset\mathbb{R},
P\bigl(Y\in B\bigr)=P\bigl(g(X)\in B\bigr)=P\bigl(X\in g^{-1}(B)\bigr)=\int_{g^{-1}(B)} f_X(x)\,dx.
  • Fazendo a substituição y=g(x) (válida por invertibilidade local e diferenciabilidade), tem-se x=g^{-1}(y) e dx=\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\,dy. Tomando módulo do jacobiano quando necessário, obtemos
P\bigl(Y\in B\bigr)=\int_{B} f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|\,dy.
  • Como isso vale para todo conjunto B, o integrando é a densidade de Y, ou seja
f_Y(y)=f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se g(x)=ax com a>0 (crescente), então g^{-1}(y)=y/a e \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)=1/a. Logo
f_Y(y)=f_X\bigl(y/a\bigr)\cdot\frac{1}{a},
que é a fórmula clássica de escala.
  • Se g(x)=-x (decrescente), então g^{-1}(y)=-y e \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)=-1. A fórmula dá
f_Y(y)=f_X(-y)\cdot|-1|=f_X(-y).
  • Se g(x)=x^2 restringida a x\ge0 (crescente), então g^{-1}(y)=\sqrt{y} e \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}, resultando em
f_Y(y)=f_X\bigl(\sqrt{y}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}},\qquad y\ge0.
Esses exemplos mostram como a derivada da inversa atua como fator de compensação que transforma a densidade de x na densidade de y.

Resposta

f_{Y}(y)=f_{X}\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d\bigl(g^{-1}(y)\bigr)}{d y}\right|

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