Prove que se X é uma V.A., com densidade f_{X}(x), e Y=g(X), onde g é uma função estritamente monótona, então a função de densidade da variável Y é f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-} 1(y)\right)\left|\frac{d\left(g^{-} 1(y)\right)}{d y}\right|.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá que X é uma variável aleatória contínua com densidade f_{X}(x).
Dá que Y=g(X), sendo g uma função estritamente monótona (logo injetora e com inversa g^{-1}).
Observações sobre as hipóteses que vamos usar (importante para a prova):
Ao usar derivadas de g^{-1} estamos assumindo que g é diferenciável e que g^{-1} também é diferenciável naquele ponto (ou, pelo menos, que a regra da cadeia pode ser aplicada quase em toda parte). A monotonicidade garante inversibilidade; a diferenciabilidade garante que faz sentido falar em \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y).
A prova será feita via função de distribuição acumulada (CDF), diferenciando-a para obter a densidade. Alternativamente, podemos fazer por mudança de variável em integrais; vou apresentar ambos os pontos de vista para clarear.
Passo 2
Lembrando definições e ideias que usaremos (passo-a-passo didático):
A função de distribuição acumulada de X é
F_X(x)=P(X\le x).
Se X tem densidade f_X, então, quando F_X é diferenciável, vale
f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x).
Para Y definimos sua CDF por
F_Y(y)=P(Y\le y)=P\bigl(g(X)\le y\bigr).
A ideia é expressar F_Y(y) em termos de F_X usando monotonicidade de g, e depois derivar em y para obter f_Y(y).
Passo 3
Trate separadamente os dois casos de monotonicidade (isso evita erros com desigualdades invertidas).
Caso A — g estritamente crescente:
Se g é crescente, a desigualdade g(X)\le y é equivalente a X\le g^{-1}(y). Portanto
Note que, neste caso, \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) é não negativa (pois inversa de função crescente tem derivada não negativa), então o produto já é não negativo.
Neste caso \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) é não positiva (derivada da inversa de função decrescente é negativa), então o produto com o sinal negativo torna f_Y(y) não negativo.
Passo 5
Unificando os dois casos com valor absoluto:
Nos casos A e B as fórmulas obtidas são, respectivamente,
porque o módulo prende o sinal adequado em cada caso (derivada da inversa será positiva se g for crescente, negativa se g for decrescente).
Comentário intuitivo: a derivada \dfrac{d}{dy}g^{-1}(y) mede como um pequeno intervalo em y se traduz em comprimento de intervalo em x; multiplicar a densidade em x por esse fator dá a densidade resultante em y. O valor absoluto aparece porque densidades são não negativas e o “alongamento” do intervalo deve ser tomado em módulo.
Passo 6
Derivação alternativa (mudança de variável em integrais) — para consolidar a intuição:
Fazendo a substituição y=g(x) (válida por invertibilidade local e diferenciabilidade), tem-se x=g^{-1}(y) e dx=\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\,dy. Tomando módulo do jacobiano quando necessário, obtemos