Sejam X uma variável aleatória definida em (-\infty,+\infty) e f_{X}(x) sua função de densidade de probabilidade. Suponha que se queira restringir o intervalo de variação de X ao intervalo (a, b], a<b. Encontre a função de densidade de probabilidade de X restrita ao intervalo. ( a, b ]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada uma variável aleatória X com densidade de probabilidade f_{X}(x) definida em (-\infty,+\infty).
  • Quer-se “restringir” a variação de X ao intervalo (a,b], com a<b.
  • A pergunta é: qual é a função de densidade de probabilidade de X quando consideramos apenas os valores em (a,b]? Ou seja, qual é a densidade de X condicionada ao evento \{X\in(a,b]\}?
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A densidade original é f_{X}(x).
  • O intervalo de restrição é (a,b] com a<b.
  • Deve-se assumir que é possível condicionar (isto é, a probabilidade de \{X\in(a,b]\} não é zero); se for zero, não existe densidade condicionada bem definida.

Passo 2

Definir o evento de interesse e calcular sua probabilidade.
  • Defina o evento A=\{X\in(a,b]\}.
  • A probabilidade de A (usando a densidade original) é
P(A)=P(a<X\le b)=\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt.
Comentário didático: essa é a forma padrão de obter a probabilidade de um intervalo quando se tem densidade. Aqui t é a variável de integração; usamos t para não confundir com o ponto x onde poderemos avaliar a densidade condicionada.

Passo 3

Lembrar a definição de probabilidade condicional e como ela dá origem à densidade condicionada.
  • A definição de probabilidade condicional é, para qualquer evento B,
P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)},
desde que P(A)>0.
  • Agora aplique isso ao evento B=\{x<X\le x+h\} com x\in(a,b] e pequeno h>0. Temos
P(x<X\le x+h\mid A)=\frac{P\bigl(x<X\le x+h,\,a<X\le b\bigr)}{P(A)}=\frac{P(x<X\le x+h)}{P(A)},
desde que x\in(a,b] e h pequeno o suficiente para manter o intervalo dentro de (a,b].

Passo 4

Passar da probabilidade condicional em pequenos intervalos para a densidade condicional.
  • Para uma densidade, a ideia é tomar o limite da probabilidade sobre o comprimento do intervalo. A densidade condicionada f_{X\mid A}(x) é definida como
f_{X\mid A}(x)=\lim_{h\to0^+}\frac{P(x<X\le x+h\mid A)}{h}.
  • Substituindo a expressão do passo anterior,
f_{X\mid A}(x)=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{h}\cdot\frac{P(x<X\le x+h)}{P(A)} =\frac{1}{P(A)}\lim_{h\to0^+}\frac{P(x<X\le x+h)}{h}.
  • Pelo fato de f_{X} ser a densidade original, o limite dentro é simplesmente f_{X}(x). Logo obtemos, para x\in(a,b],
f_{X\mid A}(x)=\frac{f_{X}(x)}{P(A)}=\frac{f_{X}(x)}{\displaystyle\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt}.

Passo 5

Escrever a densidade condicionada de forma completa (peça‑por‑peça) e comentar requisitos e propriedades.
  • A densidade de X\) restrita ao intervalo \((a,b]\) (ou seja, a densidade de \(X\) condicionada a \(A\)) é a função \[f_{X\mid (a,b]}(x)= \begin{cases} \dfrac{f_{X}(x)}{\displaystyle\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt}, & \text{se } x\in(a,b],\\[8pt] 0, & \text{se } x\notin(a,b]. \end{cases}
  • Observações importantes e didáticas:
    • Essa expressão só faz sentido quando P(A)=\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt>0\]. Se essa integral for zero, não é possível definir a densidade condicionada (não dá para dividir por zero). - Verificação rápida de que é uma densidade: \(f_{X\mid (a,b]}(x)\ge0 porque f_{X}\ge0, e a integral sobre toda a reta é
    \int_{-\infty}^{\infty} f_{X\mid (a,b]}(x)\,dx =\int_{a}^{b} \frac{f_{X}(x)}{\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt}\,dx =\frac{\int_{a}^{b} f_{X}(x)\,dx}{\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt}=1.Assim a função está normalizada.
    • Interpretação intuitiva: estamos pegando a densidade original, cortando tudo fora de (a,b] (colocando zero) e multiplicando por uma constante de normalização igual a 1/\int_{a}^{b} f_X para que a nova área total seja 1.]

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia (bem práticos e fáceis de checar na prova).
  • Exemplo 1 (exponencial truncada): se f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) para \(x\ge0\) (e zero para \(x<0\)), e se truncarmos para \((0,c]\) com \(c>0\), então \[\int_{0}^{c} f_X(t)\,dt=1-e^{-\lambda c},
e
f_{X\mid(0,c]}(x)= \begin{cases} \dfrac{\lambda e^{-\lambda x}}{1-e^{-\lambda c}}, & 0<x\le c,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Exemplo 2 (normal truncada): se f_X\] é a densidade normal padrão \(\varphi(x), truncar para (a,b]
f_{X\mid(a,b]}(x)=\frac{\varphi(x)}{\Phi(b)-\Phi(a)},\qquad a<x\le b,
onde \Phi é a função de distribuição da normal. Esse é o caso clássico de distribuição normal truncada — a ideia é exatamente a mesma: cortar e renormalizar.]

Resposta

f_{X\mid (a,b]}(x)= \begin{cases} \dfrac{f_{X}(x)}{\displaystyle\int_{a}^{b} f_{X}(t)\,dt}, & \text{se } x\in(a,b],\\[8pt] 0, & \text{se } x\notin(a,b], \end{cases}]

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