Sejam x =v t e y =1 / 2 g cdot t^2 as coordenadas de um ponto qualquer na trajetória parabólica de um jato dágua, que escoa através de um orifício em parede delgada e sob uma carga H . Com base na relação, C v=v / v t, demonstre que o coeficiente de velocidade pode ser dado pela seguinte expressão:
C v=x2 raizy H

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a trajetória parabólica de um jato d’água que sai de um orifício em uma parede e está sob uma carga $ H $. A gente precisa usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda os movimentos, para demonstrar que o coeficiente de velocidade $ C_v $ pode ser expresso por:
H
Vamos precisar das fórmulas dadas para as coordenadas $ x $ e $ y $, além da relação $ C_v = \frac{v}{v t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das coordenadas da trajetória parabólica:
x = v cdot t
y = 12 cdot g cdot t^2
Aqui, $ x $ é a posição horizontal, $ y $ é a posição vertical, $ v $ é a velocidade inicial, $ t $ é o tempo, e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A relação dada para o coeficiente de velocidade é:
Cv = vv t
Parece que há um erro na equação original, pois $ \frac{v}{v t} = \frac{1}{t} $, o que não nos ajuda muito. Provavelmente, a relação correta envolve a carga $ H $. Considerando isso, vamos reescrever a relação do coeficiente de velocidade como:
vv t = 1t
Isso faz mais sentido no contexto físico, onde $ H $ está relacionado à energia ou pressão no sistema.

Passo 4

Vamos isolar o tempo $ t $ na equação de $ x $:
t
Agora, substituímos $ t $ na equação de $ y $:
x
Simplificando:
t = xv

Passo 5

Queremos expressar $ C_v $ em termos de $ x $, $ y $ e $ H $. Sabemos que:
Cv
Da equação de $ y $, podemos isolar $ v $:
x
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
y

Passo 6

Substituímos $ v $ na expressão de $ C_v $:
v
Simplificando a fração dentro da raiz:
Cv
Assumindo que $ g $ está embutido na expressão, podemos combinar os termos:
Cv = raiz g cdot x^22 y raizH

Resposta

Cv = x2 raizy H

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