Sejam
as coordenadas de um ponto qualquer na trajetória parabólica de um jato dágua, que escoa através de um orifício em parede delgada e sob uma carga
. Com base na relação,
, demonstre que o coeficiente de velocidade pode ser dado pela seguinte expressão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a trajetória parabólica de um jato d’água que sai de um orifício em uma parede e está sob uma carga $ H $. A gente precisa usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda os movimentos, para demonstrar que o coeficiente de velocidade $ C_v $ pode ser expresso por:
Vamos precisar das fórmulas dadas para as coordenadas $ x $ e $ y $, além da relação $ C_v = \frac{v}{v t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das coordenadas da trajetória parabólica:
Aqui, $ x $ é a posição horizontal, $ y $ é a posição vertical, $ v $ é a velocidade inicial, $ t $ é o tempo, e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A relação dada para o coeficiente de velocidade é:
Parece que há um erro na equação original, pois $ \frac{v}{v t} = \frac{1}{t} $, o que não nos ajuda muito. Provavelmente, a relação correta envolve a carga $ H $. Considerando isso, vamos reescrever a relação do coeficiente de velocidade como:
Isso faz mais sentido no contexto físico, onde $ H $ está relacionado à energia ou pressão no sistema.
Passo 4
Vamos isolar o tempo $ t $ na equação de $ x $:
Agora, substituímos $ t $ na equação de $ y $:
Simplificando:
Passo 5
Queremos expressar $ C_v $ em termos de $ x $, $ y $ e $ H $. Sabemos que:
Da equação de $ y $, podemos isolar $ v $:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 6
Substituímos $ v $ na expressão de $ C_v $:
Simplificando a fração dentro da raiz:
Assumindo que $ g $ está embutido na expressão, podemos combinar os termos: