Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das 10: 15 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Há distribuição exponencial dos tempos entre chegadas com média de \;20 minutos.
  • Os tempos de serviço são exponenciais com médias \;30 minutos e \;15 minutos para os servidores (esses dados não serão necessários para a pergunta pedida).
  • Acabou de chegar um cliente às \;08{:}00.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das \;10{:}15?

Passo 2

Primeiro vamos transformar o tempo entre \;08{:}00 e \;10{:}15 em minutos para usar na fórmula.
Calculemos a diferença:
10{:}15 - 08{:}00 = 2\\ \text{horas}\\\ 15\\ \text{minutos} = 2\cdot 60 + 15 = 135\\ \text{minutos}.
Portanto, queremos a probabilidade de que o tempo até a próxima chegada seja maior que \;135 minutos.

Passo 3

Aqui é importante lembrar uma propriedade fundamental da distribuição exponencial: a propriedade de falta de memória (memoryless). Isso significa, em linguagem simples, que depois de uma chegada, o tempo até a próxima chegada tem a mesma distribuição exponencial como se o processo recomeçasse agora — o passado não influencia o futuro. Matematicamente, para uma variável exponencial X vale
\Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t).
Como acabou de chegar um cliente às \;08{:}00, o tempo até a próxima chegada é uma variável exponencial com a mesma média dada, independente do que já ocorreu.

Passo 4

A distribuição exponencial é caracterizada por um parâmetro de taxa \lambda (unidade: por minuto) e pela média relacionada por
\text{média}=\frac{1}{\lambda}.é
Como a média do tempo entre chegadas é \;20 minutos, temos
\lambda=\frac{1}{20}\\ \text{por minuto}=0{,}05\\ \text{min}^{-1}.

Passo 5

A probabilidade de que uma variável exponencial X ultrapasse um tempo t é dada pela cauda exponencial:
\Pr(X>t)=e^{-\lambda t}.
Aqui X é o tempo até a próxima chegada, \lambda é a taxa e t é o tempo em minutos que queremos (no nosso caso t=135).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula com os números que já temos:
\lambda=\frac{1}{20}=0{,}05,\qquad t=135.
O expoente é
-\lambda t = -0{,}05\cdot 135 = -\frac{135}{20} = -6{,}75.

Passo 7

Calcule a probabilidade usando a exponencial:
\Pr(X>135)=e^{-6{,}75}.
Aproximando numericamente:
e^{-6{,}75}\approx 0{,}00117.
Em porcentagem, isso é cerca de 0{,}117\%. É uma probabilidade muito pequena — faz sentido, porque \;135 minutos é muito maior que a média \;20 minutos.

Passo 8

Resumo final: a probabilidade pedida é \Pr(\text{próxima chegada depois de }10{:}15)=e^{-6{,}75}\approx0{,}00117ó. Força aí — essa probabilidade é tiny, então dificilmente a próxima chegada viria só às \;10{:}15 ou depois dado o ritmo médio de chegadas.

Resposta

\displaystyle e^{-6{,}75}\approx0{,}00117

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