Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das
horas?
Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Há distribuição exponencial dos tempos entre chegadas com média de
minutos. - Os tempos de serviço são exponenciais com médias
minutos e minutos para os servidores (esses dados não serão necessários para a pergunta pedida). - Acabou de chegar um cliente às
. - Pergunta: Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra depois das
?
Passo 2
Primeiro vamos transformar o tempo entre
e
em minutos para usar na fórmula.
Calculemos a diferença:
Calculemos a diferença:
Portanto, queremos a probabilidade de que o tempo até a próxima chegada seja maior que
minutos.
Passo 3
Aqui é importante lembrar uma propriedade fundamental da distribuição exponencial: a propriedade de falta de memória (memoryless). Isso significa, em linguagem simples, que depois de uma chegada, o tempo até a próxima chegada tem a mesma distribuição exponencial como se o processo recomeçasse agora — o passado não influencia o futuro. Matematicamente, para uma variável exponencial
vale
Como acabou de chegar um cliente às
, o tempo até a próxima chegada é uma variável exponencial com a mesma média dada, independente do que já ocorreu.
Passo 4
A distribuição exponencial é caracterizada por um parâmetro de taxa
(unidade: por minuto) e pela média relacionada por
Como a média do tempo entre chegadas é
minutos, temos
Passo 5
A probabilidade de que uma variável exponencial
ultrapasse um tempo
é dada pela cauda exponencial:
Aqui
é o tempo até a próxima chegada,
é a taxa e
é o tempo em minutos que queremos (no nosso caso
).
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula com os números que já temos:
O expoente é
Passo 7
Calcule a probabilidade usando a exponencial:
Aproximando numericamente:
Em porcentagem, isso é cerca de
. É uma probabilidade muito pequena — faz sentido, porque
minutos é muito maior que a média
minutos.
Passo 8
Resumo final: a probabilidade pedida é
. Força aí — essa probabilidade é tiny, então dificilmente a próxima chegada viria só às
ou depois dado o ritmo médio de chegadas.