Exercício 13 Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida T (em 1.000 horas) com função densidade de probabilidade
f(t)=e^{-t}, \quad t>0
(a) Calcule P\{T>0,9\};
(b) Suponha que o custo de fabricação de uma unidade deste mecanismo seja de R \ 2,00 e o preço de vendaçR $5,00 . O fabricante garante total devolução do valor pago seçãT \leq 0,9$. Qual o lucro esperado por item?

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade de T (tempo de vida, em 1.000 horas):
f(t)=e^{-t},\quad t>0.
Dados numéricos adicionais: custo de fabricação por unidade =R\$\,2,00 e preço de venda por unidade =R\$\,5,00. O fabricante garante devolução total do valor pago se T\le 0,9.
Perguntas:
  1. Calcular P\{T>0,9\}.
  2. Calcular o lucro esperado por item, considerando a política de garantia (devolução total se T\le 0,9).

Passo 2

Como a primeira pergunta pede P\{T>0,9\}, vamos lembrar a definição de probabilidade para uma variável contínua: a probabilidade de T cair em um intervalo (a,b) é a integral da densidade nesse intervalo. Em particular,
P\{T>0,9\}=\int_{0,9}^{\infty} f(t)\,dt.
Substituindo f(t)=e^{-t} obtemos a integral
P\{T>0,9\}=\int_{0,9}^{\infty} e^{-t}\,dt.
Para integrar e^{-t} usamos a primitiva \int e^{-t}\,dt=-e^{-t}. Avaliando no intervalo [0,9,\infty):
P\{T>0,9\}=\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0,9}^{\infty}=0-(-e^{-0,9})=e^{-0,9}.
Interpretação prática: para essa densidade exponencial com parâmetro \lambda=1, a função sobrevivência S(t)=P\{T>t\}=e^{-t}, então P\{T>0,9\}=e^{-0,9}.
Número aproximado (para conferir): e^{-0,9}\approx 0,40657.

Passo 3

Agora vamos modelar o lucro por item como uma variável aleatória X que depende de T. Precisamos identificar os possíveis valores de X e suas probabilidades.
  • Se T>0,9: o produto não falhou durante o período de garantia, o fabricante recebe o preço de venda e arca com o custo de fabricação. Logo o lucro é
X = \text{preço} - \text{custo} = R\$\,5,00 - R\$\,2,00 = R\$\,3,00.ç
  • Se T\le 0,9: o produto falhou dentro da garantia, o fabricante devolve integralmente o valor pago. Em termos de caixa: pagou o custo R\$\,2,00 para fabricar, recebeu R\$\,5,00 na venda e depois devolveu R\$\,5,00; o efeito líquido é que ele ficou com um desembolso do custo de fabricação. Portanto o lucro é
X = -R\$\,2,00.
(assumimos que não há recuperação de valor do item devolvido; se houvesse, teria que ser incluído, mas o enunciado diz apenas “devolução total do valor pago”.)

Passo 4

Para obter o lucro esperado usamos a esperança condicional (ou a lei total da expectativa): se X toma valores distintos em dois eventos mutuamente exclusivos que cobrem todo o espaço, então
E[X]=x_1 P(E_1)+x_2 P(E_2),
onde x_1,x_2 são os lucros nos eventos E_1,E_2.
Aqui E_1=\{T>0,9\} com x_1=R\$\,3 e E_2=\{T\le 0,9\} com x_2=-R\$\,2. Assim
E[X]=3\cdot P\{T>0,9\}+(-2)\cdot P\{T\le 0,9\}.

Passo 5

Substituímos as probabilidades usando P\{T>0,9\}=e^{-0,9} e P\{T\le 0,9\}=1-e^{-0,9}. Fazendo as contas:
E[X]=3e^{-0,9}-2(1-e^{-0,9})=3e^{-0,9}-2+2e^{-0,9}=5e^{-0,9}-2.
Esse é o lucro esperado em reais por item, em forma exata. Agora calculamos numericamente usando e^{-0,9}\approx 0,40657:
E[X]\approx 5\cdot 0,40657 - 2 = 2,03285 - 2 = 0,03285.
Ou seja, aproximadamente R\$\,0,03285 por item (cerca de 3 centavos).

Resposta

P\{T>0,9\}=e^{-0,9}\approx 0,40657
\text{Lucro esperado por item}=R\$\,\bigl(5e^{-0,9}-2\bigr)\approx R\$\,0,03285

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