Exercício 13 Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida
(em 1.000 horas) com função densidade de probabilidade
(a) Calcule
;
(b) Suponha que o custo de fabricação de uma unidade deste mecanismo seja de
2,00
R $5,00
T \leq 0,9$. Qual o lucro esperado por item?
(b) Suponha que o custo de fabricação de uma unidade deste mecanismo seja de
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade de
(tempo de vida, em 1.000 horas):
Dados numéricos adicionais: custo de fabricação por unidade
e preço de venda por unidade
. O fabricante garante devolução total do valor pago se
.
Perguntas:
- Calcular
. - Calcular o lucro esperado por item, considerando a política de garantia (devolução total se
).
Passo 2
Como a primeira pergunta pede
, vamos lembrar a definição de probabilidade para uma variável contínua: a probabilidade de
cair em um intervalo
é a integral da densidade nesse intervalo. Em particular,
Substituindo
obtemos a integral
Para integrar
usamos a primitiva
. Avaliando no intervalo
:
Interpretação prática: para essa densidade exponencial com parâmetro
, a função sobrevivência
, então
.
Número aproximado (para conferir): .
Número aproximado (para conferir):
Passo 3
Agora vamos modelar o lucro por item como uma variável aleatória
que depende de
. Precisamos identificar os possíveis valores de
e suas probabilidades.
- Se
: o produto não falhou durante o período de garantia, o fabricante recebe o preço de venda e arca com o custo de fabricação. Logo o lucro é
- Se
: o produto falhou dentro da garantia, o fabricante devolve integralmente o valor pago. Em termos de caixa: pagou o custo para fabricar, recebeu na venda e depois devolveu ; o efeito líquido é que ele ficou com um desembolso do custo de fabricação. Portanto o lucro é
(assumimos que não há recuperação de valor do item devolvido; se houvesse, teria que ser incluído, mas o enunciado diz apenas “devolução total do valor pago”.)
Passo 4
Para obter o lucro esperado usamos a esperança condicional (ou a lei total da expectativa): se
toma valores distintos em dois eventos mutuamente exclusivos que cobrem todo o espaço, então
onde
são os lucros nos eventos
.
Aqui
com
e
com
. Assim
Passo 5
Substituímos as probabilidades usando
e
. Fazendo as contas:
Esse é o lucro esperado em reais por item, em forma exata. Agora calculamos numericamente usando
:
Ou seja, aproximadamente
por item (cerca de 3 centavos).