Sejam
e
campos vetoriais diferenciáveis em um aberto
e
uma função diferenciável, verifique que:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a relação de derivação do tipo produto entre função escalar e campo vetorial, isto é, provar que
Para isso, vamos usar as definições de divergência e gradiente em coordenadas.
Passo 2
Pela definição, se
, então
Aplicamos a regra do produto para cada termo dessa soma.
Passo 3
Para cada
temos
Somando sobre
de
a
, obtemos
Passo 4
Observamos que
Além disso,
Substituindo esses resultados na expressão do passo anterior, concluímos a identidade desejada.