Sejam X e Y campos vetoriais diferenciáveis em um aberto U subset R^n e f: U R uma função diferenciável, verifique que:
div(f X)=f div(X)+lang<=nabla f, Xrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a relação de derivação do tipo produto entre função escalar e campo vetorial, isto é, provar que
div(fvec X) = f,div(vec X) + lang<= nabla f, vec Xrang<=
Para isso, vamos usar as definições de divergência e gradiente em coordenadas.

Passo 2

Pela definição, se vec X = (X1,dots,Xn), então
div(fvec X) = sumi=1^n partialpartial xil(f,Xir)
Aplicamos a regra do produto para cada termo dessa soma.

Passo 3

Para cada i temos
partialpartial xil(f,Xir) = partial fpartial xi,Xi + f,partial Xipartial xi
Somando sobre i de 1 a n, obtemos
sumi=1^n partial fpartial xiXi + sumi=1^n f,partial Xipartial xi

Passo 4

Observamos que
sumi=1^n partial Xipartial xi = div(vec X)
Além disso,
sumi=1^n partial fpartial xi Xi = lang<= nabla f, vec Xrang<=
Substituindo esses resultados na expressão do passo anterior, concluímos a identidade desejada.

Resposta

div(f X) = f div(X) + lang<=nabla f, Xrang<=

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