- Dê exemplo de uma seqüência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma seqüência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos em
:
- Uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
tal que
. - Uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tal que
.
Vamos escolher exemplos simples em.
Passo 2
Definimos
Cada
é fechado e não-vazio. Além disso, para
vale
logo a família é decrescente.
Passo 3
Mostramos que
.
Se existisse , teríamos
para todo
, o que é impossível em
. Portanto a interseção é vazia.
Se existisse
Passo 4
Agora definimos
Cada
é limitado e não-vazio. Para
temos
portanto também formam uma sequência decrescente.
Passo 5
Mostramos que
.
Se existisse , teria
para todo
. Mas para
isso é impossível. Logo a interseção é vazia.
Se existisse
Resposta
Um exemplo conveniente é
Ambas as sequências são decrescentes, cada conjunto é não-vazio, mas as interseções infinitas são vazias.