1. Dê exemplo de uma seqüência decrescente de conjuntos fechados não-vazios F_{1} \supset \cdots \supset F_{n} \supset \cdots e uma seqüência decrescente de conjuntos limitados não-vazios L_{1} \supset \cdots \supset L_{n} \supset \cdots tais que \cap F_{n}=\varnothing e \cap L_{n}=\varnothing.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos em \mathbb{R}:
  1. Uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios F_{1}\supset F_{2}\supset \cdots\supset F_{n}\supset\cdotstal que
    \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}F_{n}=\varnothing.
  2. Uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios L_{1}\supset L_{2}\supset \cdots\supset L_{n}\supset\cdotstal que
    \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}L_{n}=\varnothing.
    Vamos escolher exemplos simples em \mathbb{R}.

Passo 2

Definimos
F_{n} = [\,n,\infty),\quad n=1,2,3,\dots
Cada F_{n} é fechado e não-vazio. Além disso, para m>n vale
F_{m}=[m,\infty)\subset [n,\infty)=F_{n},
logo a família é decrescente.

Passo 3

Mostramos que
\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}F_{n}=\varnothing.
Se existisse x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_{n}, teríamos x\ge n para todo n, o que é impossível em \mathbb{R}. Portanto a interseção é vazia.

Passo 4

Agora definimos
L_{n} = \bigl(0,\tfrac{1}{n}\bigr),\quad n=1,2,3,\dots
Cada L_{n} é limitado e não-vazio. Para m>n temos
L_{m}=\bigl(0,\tfrac1{m}\bigr)\subset\bigl(0,\tfrac1{n}\bigr)=L_{n},
portanto também formam uma sequência decrescente.

Passo 5

Mostramos que
\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}L_{n}=\varnothing.
Se existisse x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}L_{n}, teria 0<x<1/n para todo n. Mas para n>\tfrac1{x} isso é impossível. Logo a interseção é vazia.

Resposta

Um exemplo conveniente é
F_{n} = [n,\infty), \qquad L_{n} = \bigl(0,\tfrac{1}{n}\bigr).
Ambas as sequências são decrescentes, cada conjunto é não-vazio, mas as interseções infinitas são vazias.

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