Sejam
e
conjuntos e
relações binárias de
em
. Mostre que são equivalentes:
(i)Se
, então
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
;
(v)
;
(vi)
.
(i)Se
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 1
O enunciado fala de duas relações binárias
e
de
em
, ou seja,
e
. Queremos mostrar que as seis afirmações abaixo são logicamente equivalentes, usando a teoria de inclusão, união, interseção e complemento de conjuntos:
(i) Se
, então
.
(ii) .
(iii) .
(iv) .
(v) .
(vi) .
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 2
Mostramos que (i) e (ii) são a mesma coisa:
“Se então
” significa exatamente que todo par de
está também em
. Por definição de subconjunto, isto é
“Se
Logo, (i)
(ii).
Passo 3
Usamos agora propriedades de inclusão com união e interseção:
- Para quaisquer conjuntos
, vale Aplicando com e , segue
, ou seja, (ii) (iii). - Também vale
Logo, , isto é, (ii) (iv).
Passo 4
Agora usemos o complemento em relação ao universo
. Para quaisquer
temos
Com
e
segue
, ou seja, (ii)
(v).
Passo 5
Por fim, outra forma de expressar inclusão via complemento é
Com
e
obtemos
, ou seja, (ii)
(vi).
Resposta
As seis condições (i)–(vi) são equivalentes.