Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(c) n sim m se n=m^2;

Passo 1

O enunciado define a relação
R = (n,m)inNtimesNmid n=m^2
no conjunto dos números naturais. Vamos verificar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade para essa relação.

Passo 2

Reflexividade exige que para todo ninN tenhamos nsim n, isto é,
forall ninN,,n = n^2.
Isso implica
n^2 - n = 0 Longrightarrow n(n-1)=0 Longrightarrow n=0 ou n=1
Como a relação só vale para n=0 ou n=1, não se verifica para todos os ninN. Portanto, R não é reflexiva.

Passo 3

Simetria exige que, sempre que n sim m (i.e.\ n = m^2), tenha-se m sim n (i.e.\ m = n^2).
Partindo de n = m^2, exigir m = n^2
m = (m^2)^2 = m^4 Longrightarrow m(m^3 - 1) = 0 Longrightarrow m = 0 ou m = 1
Logo, em geral, se n = m^2 não segue que m = n^2. Assim, R não é simétrica.

Passo 4

Antissimetria pede que, sempre que nsim m e msim n, então n=m.
Pelas condições n=m^2 e m=n^2 já vimos que isso só ocorre para n=m=0 ou n=m=1. Não há pares distintos que satisfazem nsim m e msim n. Logo, a condição de antissimetria é satisfeita (vácuo para nneq m). Portanto, R é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade exige que, se nsim m e msim k, então nsim k.
De n=m^2 e m=k^2 segue
n = (k^2)^2 = k^4
Para ter nsim k precisaríamos n=k^2, ou seja k^4=k^2, o que só vale para k=0 ou k=1. Em geral falha: por exemplo 16sim4 e 4sim2, mas 16notsim2. Logo, R não é transitiva.

Resposta

Reflexiva: não
Simétrica: não
Antissimétrica: sim
Transitiva: não

Exercícios relacionados