Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(c)
se
;
(c)
Passo 1
O enunciado define a relação
no conjunto dos números naturais. Vamos verificar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade para essa relação.
no conjunto dos números naturais. Vamos verificar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade para essa relação.
Passo 2
Reflexividade exige que para todo
tenhamos
, isto é,
.
Isso implica
Isso implica
Como a relação só vale para
ou
, não se verifica para todos os
. Portanto,
não é reflexiva.
Passo 3
Simetria exige que, sempre que
(i.e.\
), tenha-se
(i.e.\
).
Partindo de , exigir
dá
Partindo de
Logo, em geral, se
não segue que
. Assim,
não é simétrica.
Passo 4
Antissimetria pede que, sempre que
e
, então
.
Pelas condições e
já vimos que isso só ocorre para
ou
. Não há pares distintos que satisfazem
e
. Logo, a condição de antissimetria é satisfeita (vácuo para
). Portanto,
é antissimétrica.
Pelas condições
Passo 5
Transitividade exige que, se
e
, então
.
De e
segue
De
Para ter
precisaríamos
, ou seja
, o que só vale para
ou
. Em geral falha: por exemplo
e
, mas
. Logo,
não é transitiva.
Resposta
Reflexiva: não
Simétrica: não
Antissimétrica: sim
Transitiva: não
Simétrica: não
Antissimétrica: sim
Transitiva: não