1. Sejam x, y dois reais quaisquer, com 0. Prove
raiz[3]y-x>raiz[3]y-raiz[3]x

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Sejam raiz[3]y - x ;>;raiz[3]y;-;raiz[3]x com . Prove que
Isso envolve desigualdades, raiz cúbica e fatoração de diferença de cubos. Para resolver vamos usar:
  1. A raiz cúbica é função crescente (se um número aumenta, sua raiz cúbica também aumenta).
  2. A fatoração .
  3. Regras de inequação: dividir ou elevar ao cubo mantém o sinal quando lidamos com positivos.

Passo 2

A jogada clássica é trocar a = raiz[3]y, b = raiz[3]x e por cubos de coisas mais simples. Então defina
Logo e . Como , a função “elevar ao cubo” é crescente, dá , então .

Passo 3

Agora reescreve o que queremos em raiz[3],y - x, ;=;raiz[3],a^3 - b^3, = raiz[3](a-b),(a^2+ab+b^2) e raiz[3]y - raiz[3]x = a - b .
raiz[3](a-b)(a^2+ab+b^2) ;>; a - b
E
Portanto a desigualdade vira

Passo 4

Como sabemos que raiz[3](a-b)(a^2+ab+b^2) = raiz[3]a-b;cdot;raiz[3]a^2+ab+b^2 , podemos escrever
raiz[3]a-b;raiz[3]a^2+ab+b^2 ;>; a - b
Aí a inequação é
raiz[3],a^2 + ab + b^2, ;>; (a-b)^2/3
Dividindo ambos os lados por a^2 + ab + b^2 ;>; (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (positivo, então a desigualdade não se inverte), fica
Agora elevamos ambos os lados ao cubo (potência ímpar, base positiva, também preserva a ordem):

Passo 5

Subtraindo ab > -2ab ;;Long<=ftrightarrow;; 3ab > 0 dos dois lados sobra
E como e , é sempre verdade. Logo todas as etapas valem e a desigualdade original está provada.

Resposta

Portanto, para todo boxedraiz[3],y - x, ;>;raiz[3]y;-;raiz[3]x, , vale

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