- Sejam
dois reais quaisquer, com
. Prove
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Sejam
com
. Prove que
Isso envolve desigualdades, raiz cúbica e fatoração de diferença de cubos. Para resolver vamos usar:
- A raiz cúbica é função crescente (se um número aumenta, sua raiz cúbica também aumenta).
- A fatoração
. - Regras de inequação: dividir ou elevar ao cubo mantém o sinal quando lidamos com positivos.
Passo 2
A jogada clássica é trocar
e
por cubos de coisas mais simples. Então defina
Logo
e
. Como
, a função “elevar ao cubo” é crescente, dá
, então
.
Passo 3
Agora reescreve o que queremos em
e
.
E
Portanto a desigualdade vira
Passo 4
Como sabemos que
, podemos escrever
Aí a inequação é
Dividindo ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não se inverte), fica
Agora elevamos ambos os lados ao cubo (potência ímpar, base positiva, também preserva a ordem):
Passo 5
Subtraindo
dos dois lados sobra
E como
e
,
é sempre verdade. Logo todas as etapas valem e a desigualdade original está provada.
Resposta
Portanto, para todo
, vale